Suites

Une histoire de lapins

On peut écrire le nombre de couple de lapins pour chaque étape ce qui donne U₁=1, U₂=1, U₃=2, U₄=3, U₅=5, U₆=8.
Cette histoire on la doit à Leonardo Fibonacci qui, en observant la croissance des lapins chaque mois, en déduisit une suite connue sous le nom de suite de Fibonacci.
Cette suite peut être définie par :

Maintenant si on arrange les carrés de surface U_n on obtient un rectangle dont la longueur est égale à la largeur multipliée par environ 1,618. Cette valeur est une valeur approchée du nombre d'or nommé φ.
Enfin on construit un arc de cercle par carré, et on obtient une spirale qui est proche de la spirale d'or construite à partir du nombre d'or.

Fibonacci et Pascal

La suite de Fibonacci est également liée au triangle de Pascal, la somme de chaque diagonale forme un élément de la suite de Fibonacci comme cela est représenté sur la figure (inspirée du site cité auparavant).

Elle peut s'exprimer avec la relation :

$U_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }}\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{n-k}{k}}\right)={\displaystyle \sum _{0\le k\le \frac{n}{2}}}\left({\displaystyle \genfrac{}{}{0pt}{}{n-k}{k}}\right)$

En respectant le domaine de définition précédent

Un calcul de racine carrée

Très utilisée en informatique, c'est une suite par récurrence que l'on appelle Méthode de Héron ou babylonienne :
$X_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(X_n+{\displaystyle \frac{a}{X_n}}\right)$ avec X₀ le plus proche possible de √a. Cette suite tend vers √a.

Principe géométrique

En partant du fait que la racine carrée correspond au côté d'un carré. Cette méthode consiste à prendre un rectangle d'aire a avec un côté de longueur x et de largeur a∕x. On calcule par itération successive la nouvelle longueur côte en faisant la moyenne de la longueur et de la largeur ${\displaystyle \frac{x+\frac{a}{x}}{2}}$ et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne un carré.

Prenons l'exemple de la racine carrée de 16

1. Longueur X₀=8, largeur 2, $x_1={\displaystyle \frac{8+\frac{16}{8}}{2}}=5$
2. Longueur X₁=5, largeur 3,2, $x_2={\displaystyle \frac{5+\frac{16}{5}}{2}}=4,1$
3. Longueur X₂=4,1, largeur 3,9, $x_3={\displaystyle \frac{4,1+\frac{16}{4,1}}{2}}\approx 4$
4. Longueur X₃=4, largeur 4, c'est terminé, le résultat est 4.

On remarque que l'on obtient la racine carrée en très peu d'itération. C'est ce qui fait que cette méthode est encore très utilisée.

Utilisation de la méthode de Newton

Calcul sur ordinateur

On propose de calculer deux exemples de suites sur ordinateur soit avec un programme, soit avec un tableur pour ensuite comparer les résultats avec la valeur théorique. Les deux suites proposées donnent théoriquement le même résultat quelque soit le nombre d'itération n. A noter, que sur la majorité des calculatrices les calculs théoriques sont vérifiés, mais pas sur les ordinateurs quelque soit le logiciel utilisé (langage de programmation, logiciel mathématique).

Ces différences s'expliquent par le fait que certains nombre n'ont pas de représentation finie en binaire, comme cela est expliqué avec la représentation des réels.

Suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite où la progression est réalisée par l'addition d'un nombre constant que l'on appelle raison.
Elle s'écrit : $U_{n+1}=U_n+r$ ou bien en fonction de la valeur initiales U₀ : $U_{n+1}=U_0+nr$.

Somme des termes

Suites géométriques

Une suite géométrique est une suite où la progression est réalisée par la multiplication par une constante que l'on appelle également raison.
Elle s'écrit : $\{\begin{array}{c}{U}_0\ne 0\hfill \\ U_{n+1}=q{U}_n\hfill \end{array}$, elle peut également s'écrire en fonction de U₀ et q : $U_n=q^n{U}_0$

Lorsque la suite commence à l'indice p, la relation devient $U_n=q^{(n-p)}{U}_p$

Somme des termes

Suites arithmético-géométriques

Une suite arithmético-géométrique est une suite qui est une combinaison des suites arithmétiques et géométriques, dans ce cas on multiplie la valeur précédente par une constante (géométrique) puis on additionne une constante (arithmétique). Les suites précédentes $\{\begin{array}{c}{U}_0=0,1\hfill \\ U_{n+1}=1-9U_n\hfill \end{array}$ et $\{\begin{array}{c}{U}_0=0,7\hfill \\ U_{n+1}=10U_n-6,3\hfill \end{array}$ sont des suites arithmético-géométriques.

Cette suite s'écrit $U_{n+1}=a{U}_n+b$ qui peut également s'écrire en fonction de U₀ : $\{\begin{array}{c}a\ne 0\hfill \\ r={\displaystyle \frac{b}{1-a}},a\ne 1\hfill \\ U_n=a^n(U_0-r)+r\hfill \end{array}$ , cette suite est constante si U_n=r ∀ n ∈ ℕ.

Exemple :

Programmation en Python sur calculatrice

On propose d'écrire la fonction de calcul d'une suite arithmético-géométrique générique de la forme

En prenant a=0 on a une suite arithmétique de raison b et en prenant b=0, on a une suite géométrique de raison a.

Les programmes suivants ont été testés sur calculatrice casio 35+E

def suite(u0,a,b,n):
	u=u0
	for i in range(n):
		print(u)
		u=a*u+b
	return u
				

>>> suite(1.7,7,-10.2,20)
15.19900361609611
>>> 
				

u0=float(input("u0? "))
a=float(input("a? "))
b=float(input("b? "))
n=int(input("n? "))
un=u0
for i in range(n):
	un=a*un+b
print(un)
				

u0? 1.7
a? 7
b? -10.2
n? 20
15.19900361609611
>>> 
				

'ProgramMode:RUN
"U"?->U
"A"?->A
"B"?->B
"N"?->N
For 1->I To N
A*U+B->U
Next
				

Remarque : le résultat avec le langage naturel de la calculatrice correspond à la valeur théorique attendue, le résultat en python donne une suite numérique divergente, ce qui est faux. Ces deux programmes ont été réalisés sur la même calculatrice, le premier dans le langage natif de la calculatrice, le second en python.

Jouons avec les calculs des suites sur ordinateur

On pourra réaliser un programme ou bien utiliser un tableur ou encore un logiciel de calcul

Demander une suite