Les polynômes : introduction

Définitions

Un polynôme est une expression de calcul à partir d'une donnée appelée variable et d'un ensemble de paramètres et d'additions et/ou de soustractions et de multiplication. L'expression de base est une variable élevée à un puissance entière et multipliée par un nombre réel ou éventuellement complexe : $a \times x^{n} = a x^{n}$ . On rappelle qu'un nombre élevé à une puissance n entière revient à multiplier ce nombre avec lui-même n fois.
Les variables des polynômes sont souvent des lettres dont la plus utilisée est : x. Mais cette variable peut être un symbole quelconque.

On peut donc l'écrire sous la forme $\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n}$ ou encore sous la forme $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}$
avec a_k les coefficients réels ou complexes et x^k la variable à la puissance k. Cette forme est la forme développée.

Le degré du polynôme correspond à la puissance n de x la plus élevée. Si n=1 on a un polynôme de degré 1 ou polynôme unitaire qui est de la forme $\displaystyle ax+b$ .
Exemples :
$\displaystyle 2x+3$
$\displaystyle\frac{2}{3}x+\sqrt{5}$

Forme factorisée

Un polynôme peut également s'écrire, quand cela est possible sous la forme d'un produits de polynômes. Cette forme s'obtient avec le calcul des racines, dans ce cas il s'écrit sous la forme $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}{(x+a)^{p_{k}}}$ . La puissance p_k signifie que dans la factorisation il peut y avoir des facteurs identiques que l'on exprime avec une puissance qui est unique pour chaque produit de facteurs et qui peut valoir 1.

Le binôme de Newton

Le binôme de Newton est une relation qui permet de calculer la forme développée d'un polynôme de degré 1 élevé à une puissance n quelconque :
$(x+a)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{\left(\begin{array}[]{c}n\\ k\end{array}\right)a^{k}x^{n-k}}$ avec $\displaystyle\left(\begin{array}[]{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ qui est le coefficient binômial qui se calcule à l'aide de factorielles.

Les valeurs de ces coefficients présentent une symétrie, comme le montre le triangle de Pascal :

0	:	1
1	:	1	1
2	:	1	2	1
3	:	1	3	3	1
4	:	1	4	6	4	1
5	:	1	5	10	10	5	1
6	:	1	6	15	20	15	6	1
7	:	1	7	21	35	35	21	7	1
8	:	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	:	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	:	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

Voir la démonstration de la formule du binôme de Newton

La relation est vraie pour n=0 :

\displaystyle(a+b)^{0}=\sum_{k=0}^{0}{\binom{0}{k}a^{0-k}b^{k}}=\binom{0}{0}a^% {0}b^{0}=1

On doit vérifier que si la relation est vraie à l'ordre n, elle l'est également à l'ordre n+1.

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}(a+b)^{n+1}&=&(a+b)(a+b)^{n}\\ &=&(a+b)\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^{k}}+\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{n-% k}b^{k+1}}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^{k}}+\sum_{k=1}^{n+1}{\binom{n}{k-1}a% ^{n-k+1}b^{k}}\\ &=&\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^{k}}+\sum_{k=1}^{% n+1}{\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}}\\ &=&\binom{n}{0}a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^{k}}+\binom{n}{n}% b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}{\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k}}\\ &=&\binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{n}b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}{\left(\binom{n}{k}+% \binom{n}{k-1}\right)a^{n+1-k}b^{k}}\\ &=&\binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{n}b^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}{\binom{n+1}{k}a^{n+1% -k}b^{k}}\\ &=&\binom{n}{n}b^{n+1}+\sum_{k=0}^{n}{\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}}\\ &=&\sum_{k=0}^{n+1}{\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^{k}}\\ &=&(a+b)^{n+1}\end{array}

Le fait que la relation soit vraie à l'ordre n, implique qu'elle est vraie à l'ordre n+1. Donc la relation est vraie pour tout n.

Dans la démonstration on utilise la relation des coefficients binomiaux du triangle de Pascal.

\displaystyle\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k}

Démonstration :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}&=&\frac{n!}{(n-k)% !k!}+\frac{n!}{(n-k+1)!(k-1)!}\\ &=&\frac{n!}{(n-k)!k(k-1)!}+\frac{n!}{(n+1-k)(n-k)!(k-1)!}\\ &=&\frac{(n+1-k)n!+k\times n!}{k(n-k+1)(n-k)!(k-1)!}\\ &=&\frac{(n+1-k+k)n!}{(n+1-k)!k!}\\ &=&\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!k!}\\ &=&\binom{n+1}{k}\end{array}

Evaluation

Evaluer un polynôme revient à donner une valeur réelle ou complexe à x et à calculer la résultat du polynôme.

Exemples :

Evaluation du polynôme

P (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

pour x=1

P (x = 1) = P (1) = 1 + 3 (1) + 3 {(1)}^{2} + {(1)}^{3} = 8

Evaluation du polynôme

P (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

pour x=-1

P (x = -1) = P (-1) = 1 + 3 (-1) + 3 {(-1)}^{2} + {(-1)}^{3} = 0

Evaluons des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Afin d'optimiser le calcul de l'évaluation d'un polynôme, on peut utiliser la forme de Horner : $\displaystyle a_{0}+x\left(a_{1}+x\left(a_{2}+x\left(...+x\left(a_{n-1}+\left(% a_{n}x\right)\right)...\right)\right)\right)$ .

Exemples :

2 + 3 x + 4 x^{2} = 2 + x (3 + 4 x)

3 - 2 x + 5 x^{2} + x^{3} - x^{4} - 3 x^{5} = 3 + x (-2 + x (5 + x (1 + x (-1 -3 x))))

2 - x + 4 x^{2} - x^{4} = 2 + x (-1 + x (4 + x (- x)))

2 - x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - x^{4} + 5 x^{5} = 2 + x (-1 + x (4 + x (2 + x (-1 + 5 x))))

jouons avec la forme de Horner

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

0	:	1
1	:	1	1
2	:	1	2	1
3	:	1	3	3	1
4	:	1	4	6	4	1
5	:	1	5	10	10	5	1
6	:	1	6	15	20	15	6	1
7	:	1	7	21	35	35	21	7	1
8	:	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	:	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	:	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

0	:	1
1	:	1	1
2	:	1	2	1
3	:	1	3	3	1
4	:	1	4	6	4	1
5	:	1	5	10	10	5	1
6	:	1	6	15	20	15	6	1
7	:	1	7	21	35	35	21	7	1
8	:	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	:	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	:	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

Introduction aux polynômes

Définitions

Forme factorisée

Le binôme de Newton

Evaluation

Exemples :

Evaluons des polynômes

Exemples :

jouons avec la forme de Horner

0	:	1
1	:	1	1
2	:	1	2	1
3	:	1	3	3	1
4	:	1	4	6	4	1
5	:	1	5	10	10	5	1
6	:	1	6	15	20	15	6	1
7	:	1	7	21	35	35	21	7	1
8	:	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	:	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	:	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1