Introduction aux polynômes

Définitions

Un polynôme est une expression de calcul à partir d'une donnée appelée variable et d'un ensemble de paramètres et d'additions et/ou de soustractions et de multiplication. L'expression de base est une variable élevée à un puissance entière et multipliée par un nombre réel ou éventuellement complexe : $\mathrm{a}\times x^n=\mathrm{a}{x}^n$. On rappelle qu'un nombre élevé à une puissance n entière revient à multiplier ce nombre avec lui-même n fois.
Les variables des polynômes sont souvent des lettres dont la plus utilisée est : x. Mais cette variable peut être un symbole quelconque.

On peut donc l'écrire sous la forme $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$ ou encore sous la forme ${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{a}_k{x}^k$
avec a_k les coefficients réels ou complexes et x^k la variable à la puissance k. Cette forme est la forme développée.

Le degré du polynôme correspond à la puissance n de x la plus élevée. Si n=1 on a un polynôme de degré 1 ou polynôme unitaire qui est de la forme $ax+b$.
Exemples :
$2x+3$
${\displaystyle \frac{2}{3}}x+\sqrt{5}$

Forme factorisée

Un polynôme peut également s'écrire, quand cela est possible sous la forme d'un produits de polynômes. Cette forme s'obtient avec le calcul des racines, dans ce cas il s'écrit sous la forme ${\displaystyle \prod _{k=1}^n}{(x+a)}^{p_k}$. La puissance p_k signifie que dans la factorisation il peut y avoir des facteurs identiques que l'on exprime avec une puissance qui est unique pour chaque produit de facteurs et qui peut valoir 1.

Le binôme de Newton

Le binôme de Newton est une relation qui permet de calculer la forme développée d'un polynôme de degré 1 élevé à une puissance n quelconque :
${(x+a)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}\left(\begin{array}{c}\hfill n\hfill \\ \hfill k\hfill \end{array}\right)a^k{x}^{n-k}$ avec $\left(\begin{array}{c}\hfill n\hfill \\ \hfill k\hfill \end{array}\right)={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$ qui est le coefficient binômial qui se calcule à l'aide de factorielles.

Les valeurs de ces coefficients présentent une symétrie, comme le montre le triangle de Pascal :

0	:	1
1	:	1	1
2	:	1	2	1
3	:	1	3	3	1
4	:	1	4	6	4	1
5	:	1	5	10	10	5	1
6	:	1	6	15	20	15	6	1
7	:	1	7	21	35	35	21	7	1
8	:	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	:	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	:	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

Evaluation

Evaluer un polynôme revient à donner une valeur réelle ou complexe à x et à calculer la résultat du polynôme.

Exemples :

Evaluons des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander un polynôme

Afin d'optimiser le calcul de l'évaluation d'un polynôme, on peut utiliser la forme de Horner : $a_0+x\left(a_1+x\left(a_2+x\left(\mathrm{\dots }+x\left(a_{n-1}+\left(a_{n}x\right)\right)\mathrm{\dots }\right)\right)\right)$ .

Exemples :

jouons avec la forme de Horner

Prendre un papier et un crayon, puis demander un polynôme