Séries

Somme des nombres impairs

On reprend la somme cumulée de l'introduction :

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{2k-1}=n^{2}

On va retrouver cette formule :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}S_{n}&=&\sum_{k=1}^{n}{2k-1}\\ &=&2\sum_{k=1}^{n}{k}-\sum_{k=1}^{n}{1}\\ &=&2\frac{n(n+1)}{2}-n\\ &=&n^{2}\end{array}

On a utilisé la somme sur n des nombres entiers de la page précédente

Une série qui rappelle le binaire

On démarre avec un cercle de surface d'une unité. Ensuite on prend la moitié de cette surface, puis la moitié de la surface restante, ... . On fait la somme des surfaces couvertes.
Cette somme est une série qui s'écrit :

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{2^{k}}}

et peut être représentée par le graphe ci-dessous :

On observe que l'on ne couvre pas la surface et qu'il reste toujours une surface de plus en plus petite à couvrir. Cette somme ne dépasse jamais la droite d'ordonnée 1, cette somme tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini, on a une série convergente.

\displaystyle\lim_{n\to\infty}{S_{n}}=\lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{1% }{2^{k}}}}=\lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}}}=1=% \sum_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}}

Cette série est une série géométrique de raison 1/2.

Séries géométriques

Une série géométrique est une série où deux termes successives ont un rapport constant que l'on nomme également la raison.
Cette série s'écrit sous la forme :

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}{q^{k}}

Cette formule peut se généraliser dans le cas où elle ne commence pas à 0 :

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=m}^{n}{q^{k}}

Les valeurs de cette série dépendent de la valeur de la raison q :
q = 1

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=m}^{n}{1^{k}}=n-m+1

q ≠ 1
On pose les deux équations :

\displaystyle\begin{array}[]{l}S_{n}=q^{m}+q^{m+1}+q^{m+1}+...+q^{n}\\ qS_{n}=q^{m+1}+q^{m+2}+q^{m+3}+...+q^{n+1}\\ \end{array}

Ensuite on fait la différence de ces égalités :

\displaystyle S_{n}-qS_{n}=q^{m}-q^{n+1}

Le résultat est :

\displaystyle S_{n}=\frac{q^{m}-q^{n+1}}{1-q}

Exemples :

on prend q=2 et m=0 :

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}{2^{k}}=\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1

qui donne un résultat bien connu en calcul en base 2 qui précise que la valeur maximale d'un nombre exprimé sur n bits est : 2ⁿ-1 (cas où toutes les valeurs binaires sont à 1).

on prend q=1/2 et m=1

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}}=\frac{\frac{1% }{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=1-2\left(\frac{1}{2}\right% )^{n+1}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

qui donne un résultat également connu en calcul en base 2 qui correspond à la valeur maximale de la partie fractionnaire exprimée sur n bits.

Convergence

Le comportement de cette série dépend de la valeur de la raison q :

q=1 : divergente, avec une limite infinie qui est infinie.
q=-1 : divergente, mais pas de limite, on a une série alternée qui vaut une fois sur deux 0 et 1.
q > 1 : divergente, avec une limite infinie qui est infinie.
q < -1 : divergente, mais pas de limite, on a une série alternée où les valeurs positives et négatives tendent vers l'infini.
|q| < 1 : on a $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{q^{n}}=0$ ce qui donne $\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\frac{q^{m}-q^{n+1}}{1-q}}=\frac{q^{m}}{1-q}$ , on a une série convergente qui possède une limite infinie qui est finie.

Une autre série

On démarre avec un cercle de surface unité. Ensuite on prend la moitié de cette surface, puis la moitié de la surface restante, ... . On fait la somme des surfaces couvertes.
Cette somme est une série qui s'écrit

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=2}^{n}{\frac{1}{k}}

et peut être représentée par le graphe ci-dessous

On observe que l'on couvre plusieurs fois la surface du cercle, voir une infinité de fois. Sur le graphe, on ne peut pas tracer de droite horizontale. Cette série a donc une limite infinie qui tend vers l'infini, elle est divergente.

Cette série est proche d'une série plus connue : la série harmonique qui s'écrit

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}

Les séries alternées

Une série alternée est une série infinie où l'on a alternativement deux valeurs.

On va reprendre la série géométrique de raison q avec q=-1 qui s'écrit :

\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}{(-1)^{k}}

, on remarque, comme cela a été déjà écrit auparavant, que cette série diverge et n'admet pas de limite infinie.

On définit donc cette série infinie sous la forme :

\displaystyle S=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{k}}

. Cette série porte le nom de série de Grandi. De nombreux mathématiciens ont essayé d'en calculer la somme en regroupant les valeurs entre parenthèses comme par exemple :

\displaystyle S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0

ou encore

\displaystyle S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...=1

Ces deux méthodes ne sont pas du tout convaincantes et, surtout, est-il possible de les écrire avec une série infinie ?
On trouve également ce calcul :

\displaystyle{}\begin{array}[]{rcl}1-S&=&1-(1-1+1-1+1-1+...)\\ 1-S&=&1-1+1-1+1-1+1+...\\ 1-S&=&S\\ 1&=&2S\\ \frac{1}{2}&=&S\\ \end{array}

Une fois de plus cette démonstration utilise une somme qui n'est pas celle que l'on connaît habituellement, bien que cette dernière démonstration puisse être autant discutée que les deux autres, elle donne le résultat démontré avec la sommation de Cesàrio ou encore par l'application du théorème d'Abel.

Plus généralement les séries alternées s'ecrivent sous la forme :

\displaystyle S=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{k}a_{k}}

On va étudier un deuxième exemple, qui est la série alternée des entiers, de la forme :

\displaystyle S=\sum_{k=1}^{\infty}{k(-1)^{k}}

.
Il est également possible de donner une somme à cette suite en utilisant également le théorème d'Abel ou encore le produit de Cauchy pour multiplier la série de Grandi avec elle-même, qui donne

\displaystyle S=S_{G}\times S_{G}=\frac{1}{4}

avec S_G série de Grandi,

\displaystyle S=1-2+3-4+5-6+...=\frac{1}{4}

Nous pourrions encore trouvé d'autres exemples de ces séries aux résultats particuliers voir non intuitifs. Nous allons conclure avec cette série encore moins intuitive et plus étonnante :

\displaystyle S=\sum_{k=1}^{\infty}{k}=1+2+3+4+5+6+7+...=-\frac{1}{12}

qui un des résultats de la fonction Zeta de Riemann pour laquelle je conseille cette vidéo de Mickaël Launay (micmaths).

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