Exponentielle

Définition

La fonction exponentielle peut être définie de plusieurs façons comme cela est précisé sur la page Wikipédia. On propose ici la fonction égale à sa dérivée qui vaut 1 en 0.
Elle est notée exp(x)=e^x pour tout x appartenant à ℝ ou encore à ℂ avec le nombre e qui vaut e ≈ 2,718281828... et qui est un nombre transcendant.
Elle peut être également définie par sa propriété de transformation d'une somme en produit : $\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)$

Etude de la fonction

L'exponentielle de base a

Elle est définie par exp_a(x)=a^x=e^{x ln(a)} avec ln (fonction logarithme naturel ou népérien) qui est la bijection réciproque de l'exponentielle.

Exponentielle complexe

Elle permet de représenter un nombre complexe sous sa forme polaire :

ou sous une autre forme si R=e^a et θ=b : Partons des équations suivantes :

en additionnant les deux membres de ces équations on obtient : $\cos (x)={\displaystyle \frac{\exp (ix)+\exp (-ix)}{2}}$ et en soustrayant les deux membres de ces équations on obtient : $\sin (x)={\displaystyle \frac{\exp (ix)-\exp (-ix)}{2i}}$.
Et pour terminer présentons la formule de Moivre : qui donne