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Opérations sur les polynômes

Addition et soustraction

Avec les nombres signés, on ne distinguera pas l'addition de la soustraction, car soustraire revient à ajouter le polynôme en inversant les signes du deuxième polynôme.

Pour additionner deux polynômes, il suffit d'ajouter les coefficients des puissances identiques :

P 1 ( x ) = a n x n + + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
P 2 ( x ) = b n x n + + b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0
S ( x ) = P 1 ( x ) + P 2 ( x ) = ( a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) + ( b n x n + + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ) = ( a n + b n ) x n + + ( a 2 + b 2 x 2 ) + ( a 1 + b 1 ) + ( a 0 + b 0 )
P 1 ( x ) = k = 0 n a k x k et P 2 ( x ) = k = 0 n b k x k
S ( x ) = P 1 ( x ) + P 2 ( x ) = k = 0 n a k x k + k = 0 n b k x k = k = 0 n ( a k + b k ) x k

Exemples :

P1(x)=3x3-x2+4x+5 et P2(x)=2x2+x+1
S(x)=P1(x)+P2(x)=(3x3-x2+4x+5)+(2x2+x+1)=(3+0)x3+(-1+2)x2+(4+1)x+(5+1)=3x3+x2+5x+6
P1(x)=2x4-3x3-x2+2x+4 et P2(x)=x3+4x2-3x-1
S(x)=P1(x)+P2(x)=(2x4-3x3-x2+2x+4)+(x3+4x2-3x-1)=(2+0)x4+(-3+1)x3+(-1+4)x2+(2-3)x+(4-1)=2x4-2x3+3x2-x+3

jouons avec l'addition des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Multiplication

Multiplier deux polynômes revient à multiplier tous les éléments du premier polynôme par chaque élément du deuxième polynôme, puis en additionnant les coefficients des éléments de même puissance :

P 1 ( x ) = a n x n + + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
P 2 ( x ) = b n x n + + b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0
P ( x ) = P 1 ( x ) × P 2 ( x ) = ( a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) × ( b n x n + + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ) = ( a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) × b n x n + + ( a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) × b 2 x 2 + ( a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) × b 1 x + ( a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) × b 0 = ( a n b n ) x n + n + + ( a 2 b n ) x 2 + n + ( a 1 b n ) x 1 + n + ( a 0 b n ) x 0 + n + + ( a n b 2 ) x n + 2 + + ( a 2 b 2 ) x 2 + 2 + ( a 1 b 2 ) x 1 + 2 + ( a 0 b 2 ) x 0 + 2 + ( a n b 1 ) x n + 1 + + ( a 2 b 1 ) x 2 + 1 + ( a 1 b 1 ) x 1 + 1 + ( a 0 b 1 ) x 0 + 1 + ( a n b 0 ) x n + 0 + + ( a 2 b 0 ) x 2 + 0 + ( a 1 b 0 ) x 1 + 0 + ( a 0 b 0 ) = ( a n b n x 2 n ) + + ( a n b 2 + a 2 b n ) x n + 2 + ( a n b 1 + a 1 b n ) x n + 1 + ( a n b 0 + a 0 b n ) x n + + ( a 2 b 2 ) x 4 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) x 3 + ( a 1 b 1 ) x 2 + ( a 1 b 0 + a 0 b 1 ) x + a 0 b 0

Cela peut également s'écrire sous la forme :

P 1 ( x ) = k = 0 n a k x k et P 2 ( x ) = k = 0 m b k x k
P ( x ) = P 1 ( x ) × P 2 ( x ) = k = 0 n + m ( k = i + j a i b j ) x k

Exemples :

P1(x)=3x3-x2+4x+5 et P2(x)=x+1
P(x)=P1(x)×P2(x)=(3x3-x2+4x+5)×(x+1)=((3)(1))x4+((-1)(1)+(3)(1))x3+((4)(1)+(-1)(1))x2+((5)(1)+(4)(1))x+((5)(1))=3x4+2x3+3x2+9x+5
P1(x)=2x3-x2+3x+4 et P2(x)=2x+1
P(x)=P1(x)×P2(x)=(2x3-x2+3x+4)×(2x+1)=((2)(2))x4+((-1)(2)+(2)(1))x3+((3)(2)+(-1)(1))x2+((4)(2)+(3)(1))x+((4)(1))=4x4+5x2+11x+4

jouons avec la multiplication des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Division

Il s'agit d'adapter la division entière aux polynômes, on obtient un polynôme quotient et un polynôme reste.

Exemples :

Soit l'exemple de la division polynomiale : (x5-x4-x3+3x2-2x) ÷ (x2-x+1)

x5-x4-x3+3x2-2xx2-x+1
-x5+x4-x3x3
-2x3+3x2-2x
+2x3-2x2+2x-2x
+x2
-x2+x-1+1
+x-1

Le quotient est x3-2x+1 et le reste est x-1

  1. On sélectionne le dividende x5-x4-x3, puis on cherche le quotient qui le divise par x2-x+1 et qui est x3
    On multiplie x3 par x2-x+1 on soustrait ce produit de x5-x4-x3 et on obtient le reste -2x3
  2. On prend le reste -2x3 . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne -2x3+3x2-2x, puis on cherche le quotient qui le divise par x2-x+1 et qui est -2x
    On multiplie -2x par x2-x+1 on soustrait ce produit de -2x3+3x2-2x et on obtient le reste x2
  3. On prend le reste x2 . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne x2, puis on cherche le quotient qui le divise par x2-x+1 et qui est 1
    On multiplie 1 par x2-x+1 on soustrait ce produit de x2 et on obtient le reste x-1

Vérification :

x5-x4-x3+3x2-2x=(x2-x+1) × (x3-2x+1) + (x-1)
=(x5-x4-x3+3x2-3x+1) + (x-1)
=x5-x4-x3+3x2-2x

Soit la division polynomiale : (x4+4x3+6x2+4x+1) ÷ (x+1)

x4+4x3+6x2+4x+1x+1
-x4-x3 x3
+3x3+6x2
-3x3-3x2 3x2
+3x2+4x
-3x2-3x 3x
+x+1
-x-1 +1
0

Le quotient est x3+3x2+3x+1 et le reste est 0

  1. On sélectionne le dividende x4+4x3, puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est x3
    On multiplie x3 par x+1 on soustrait ce produit de x4+4x3 et on obtient le reste 3x3
  2. On prend le reste 3x3 . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne 3x3+6x2, puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est 3x2
    On multiplie 3x2 par x+1 on soustrait ce produit de 3x3+6x2 et on obtient le reste 3x2
  3. On prend le reste 3x2 . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne 3x2+4x, puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est 3x
    On multiplie 3x par x+1 on soustrait ce produit de 3x2+4x et on obtient le reste x
  4. On prend le reste x . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne x+1, puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est 1
    On multiplie 1 par x+1 on soustrait ce produit de x+1 et on obtient le reste 0

Vérification :

x4+4x3+6x2+4x+1=(x+1) × (x3+3x2+3x+1)
=x4+4x3+6x2+4x+1

jouons avec la division des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]