Unités, longueurs et aires

On commence par placer les chiffres avant la virgule 177 en commençant par le chiffre des unités

1. 7 dans la colonne cm
2. 7 dans la colonne dm
3. 1 dans la colonne m

On place ensuite les chiffres après la virgule 6 en commençant par le chiffre le plus à gauche

1. 6 dans la colonne mm

On lit le résultat à partir de la colonne m qui donne le résultat : 1.776m

On commence par placer les chiffres avant la virgule 50 en commençant par les chiffres des dizaines et unités

1. 50 dans la colonne dam²

On place ensuite les chiffres après la virgule 7240 en commençant par les chiffres les plus à gauche

1. 72 dans la colonne m²
2. 24 dans la colonne dm²

On lit le résultat à partir de la colonne m² qui donne le résultat : 5072.4m²

Le carré est une figure géométrique de 4 côtés de longueur égale avec un angle droit (90°) entre deux côtés contigus. Les diagonales, qui sont également de longueur égale, se croisent en leur milieu et forment également un angle droit, on dit qu'elles sont perpendiculaires. Cela peut se traduire par les égalités suivantes :
AB=BC=CD=AD=a, AC=BD pour les longueurs et $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}=90\mathrm{°}$ pour les angles.

Le périmètre d'un carré de côté a est la somme des longueurs a des 4 côtés : $P=4a$

L'aire d'un carré de côté a est le produit de 2 longueurs a : $S=a\times a=a^2$

Le rectangle est une figure géométrique de 4 côtés de longueur égale deux à deux avec un angle droit (90°) entre deux côtés contigus. Les diagonales, qui sont également de longueur égale, se croisent en leur milieu. Cela peut se traduire par les égalités suivantes :
AB=CD=L, AD=BC=l pour les longueurs et $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}=90\mathrm{°}$ pour les angles.

Le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l est la somme de toutes les longueurs L et l : $P=(L+l)\times 2$

L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l est le produit de la longueur par la largeur : $S=L\times l$

Le triangle est une figure géométrique de 3 côtés. La somme des 3 angles est égale à π (180°). La longueur d'un côté d'un triangle est inférieure ou égale à la somme des longueurs des 2 autres côtés.

Le périmètre d'un triangle est la somme des longueurs des côtés : $P=a+b+c$

Pour déterminer l'aire d'un triangle, on peut remarquer que les triangles en jaune AFC et FBC sont, respectivement, égaux aux triangles en vert ACE et BDC, ce qui fait que l'aire du triangle en jaune ABC qui est la somme des aires des triangles AFC et FBC est identique à la somme des aires des triangles ACE et BDC. On peut donc dire que l'aire du triangle ABC est la moitié de l'aire du rectangle ABDE.
L'aire est donc $S={\displaystyle \frac{c\times h}{2}}={\displaystyle \frac{base\times hauteur}{2}}$.
Le côté AB de longueur c est appelé base du triangle, et le segment FC de longueur h la hauteur.

Le trapèze est une figure géométrique de 4 côtés et 2 côtés opposés parallèles. Les deux côtés parallèles son appelés grande base (AB) pour le plus long et petite base (CD) pour l'autre.
Le périmètre d'un trapèze est la somme des longueurs des côtés : $P=a+b+c+d$

Pour calculer l'aire d'un trapèze, on peut utiliser la même méthode que pour le triangle en observant que les triangles AED et BFC sont respectivement identiques aux triangles AJD et BIC. L'aire du triangle AED est $A_1={\displaystyle \frac{h\times AE}{2}}$. L'aire du triangle BFC est : $A_1={\displaystyle \frac{h\times FB}{2}}$. L'aire du trapèze est l'aire du rectangle ABIJ moins l'aire des deux triangles :

Le cercle est un ensemble de points situés à égale distance d'un point o nommé le centre, cette distance est le rayon R. Le cercle est utilisé pour définir nombre π. Le segment qui part d'un point du cercle jusqu'à un autre point du cercle est le diamètre, on peut écrire que D=2×R
Les calculs de l'aire et du périmètre utilisent π.
Le cercle trigonométrique sert également de modèle pour la trigonométrie.

Le périmètre ou la circonférence du cercle est calculé avec la formule : $P=2\times \pi R=\pi D$
L'aire du cercle est calculée avec la formule : $S=\pi R^2={\displaystyle \frac{\pi D^2}{4}}$

Le périmètre de ce polygone à 8 côtés est : $P=8\times a$, plus généralement le périmètre d'un polygone à n côtés est : $P=n\times a$

Pour calculer l'aire on considère n triangles isocèles, ce qui fait que l'aire totale est la somme des aires de ces triangles élémentaires.
On calcule donc l'aire de ce triangle isocèle en considérant les valeurs suivantes :

• a: côté du polygone et base du triangle
• r : rayon côté du triangle
• h : hauteur du triangle
• $\frac{2\pi }{n}$ : angle au sommet du triangle

L'aire du triangle élémentaire est donc : $A=\frac{ah}{2}=r{}^2\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$ avec $h=r\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$ et $\frac{a}{2}=r\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$
L'aire du polygone est donc : $A{}_n=nA=nr{}^2\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$
En utilisant les formules de trigonométrie, on obtient : $A_n={\displaystyle \frac{n{r}^2}{2}}\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\right)$

Une des propriétés du polygone régulier est qu'il est inscrit dans un cercle de rayon r. C'est cette propriété qui a été utilisée par les Babyloniens, Archimède et Viète pour déterminer la valeur de π
En augmentant suffisamment le nombre de côtés, l'aire et le périmètre se rapproche de l'aire et du périmètre du cercle inscrit. On détermine donc π en considérant que l'aire et le périmètre du polygone et du cercle inscrit sont identiques.