Histoire de PI

Les Babyloniens, sachant que le rapport entre le périmètre du cercle et le diamètre est constant, ont établi la relation entre le périmètre de l'hexagone et le périmètre du cercle à $(\frac{57}{60}+\frac{36}{60{}^2})$ .
Ils ont estimé une valeur de π avec la relation : $2\pi R(\frac{57}{60}+\frac{36}{60{}^2})$ qui donne $\pi ={\displaystyle \frac{3}{\frac{57}{60}+\frac{36}{{60}^2}}}={\displaystyle \frac{3}{0.96}}=3+{\displaystyle \frac{1}{8}}=3,125$
Le principe mathématique utilise le calcul sur les polygones.

Les Egyptiens utilisèrent un octogone irrégulier dont la surface est facilement calculable : 5 carrés de 3 unités de côté + 4 triangles isocèles dont l'aire est équivalente à celle de 2 carrés, soit une aire totale de 7 carrés, la surface de l'hexagone est donc : $7\times 9=63$ .
Le cercle correspondant à l'hexagone a un rayon de $\frac{9}{2}$ . Ce qui donne une aire : $\left(\frac{9}{2}\right){}^2\pi =63$ , donne : $\pi =8{}^2\times {\displaystyle \frac{2{}^2}{9{}^2}}=\left({\displaystyle \frac{16}{9}}\right){}^2={\displaystyle \frac{256}{81}}=3,160493827$

Archimède utilisa des polygones réguliers de 6, 12, 24, 48 puis 96 côtés.
A partir des polygones inscrits et circonscrits, il estima un encadrement de π :
La figure ci-contre montre le cercle avec les polygones inscrits et circonscrits de 6 côtés.
Le principe mathématique utilise le calcul sur les polygones.