Thalès et Pythagore

Le théorème de Thalès

Thalès de Millet est un philosophe Grec né vers 630 av. J.-C. et mort vers 545 av. J.-C. . On lui doit entre autre le théorème sur le triangle inscrit au cercle et le théorème que nous connaissons tous sur les rapports de longueur entre droites.

Premier Théorème

"En traçant dans un triangle une ligne parallèle à l'un de ses côtés, on obtient un triangle semblable."

Sources : collection génies des mathématiques, éditions RBA, traduction de "Genios de las matemáticas, Marcos Jaén Sánchez, 2018.

Enoncé :
Soit un triangle ABC, et deux points D et E, D sur la droite (AB) et E sur la droite (AC), de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC). On a alors les égalités : $\displaystyle\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

Ce théorème utilise le principe de la règle de trois

Deuxième théorème

"Soit B un point d'un cercle de diamètre AC, distinct de A et de C. L'angle ABC est droit."

Sources : collection génies des mathématiques, éditions RBA, traduction de "Genios de las matemáticas, Marcos Jaén Sánchez, 2018.

Le théorème de Pythagore

Pythagore de Samos est un philosophe Grec né vers 570 av. J.-C. et mort vers 490 av. J.C. . Il s'intéresse à l'astronomie, aux mathématiques, à la musique.

Théorème

"Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de la longueur des Deux autres côtés."

Sources : collection génies des mathématiques, éditions RBA, traduction de "Genios de las matemáticas, Marcos Jaén Sánchez, 2018.

Théorème
Soit un triangle rectangle ABC, rectangle en C alors : $\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ ou bien $\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Le triangle rectangle le plus connu est le triangle 3,4,5 qui vérifie : $\displaystyle 5^{2}=3^{2}+4^{2}\Rightarrow 25=9+16$ .
Ce triangle fait parti des triplets pythagoriciens qui sont des triplets d'entiers naturels qui vérifient le théorème de Pythagore. On peut trouver d'autres informations sur les triplets de Pythagore.

Ce théorème est égalent à l'origine de relations en trigonométrie

Généralisation du théorème de Pythagore

Cette généralisation au triangle quelconque est obtenue à partir de la loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi.
Il permet de calcul le troisième côté d'un triangle quelconque à partir des deux autres côtés et de l'angle au sommet de ces deux côté.

\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\times b\times c\times\sin(\hat{A})

Exemple :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}b&=&6\\ c&=&5\\ \hat{A}&=&37°\end{array}\right.\Rightarrow{}\left\{\begin{array}[]{rcl}a^{2}&=% &6^{2}+5^{2}+2\times 6\times 5\times\cos(37)\\ &\approx&13,08\\ a&\approx&3,62\end{array}\right.

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