Un peu de géométrie
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Définitions et cercle trigonométrique

Définitions

On peut définir les relations de trigonométrie à partir des côtés et angles d'un triangle rectangle.

Le triangle ABC est triangle en B, La désignation du côté adjacent, côté opposé et de l'hypothénuse est relative à l'angle choisi. Dans le cas présent, ces côtés sont désignés par rapport à l'angle  du sommet A. L'unité de l'angle est le radian compris entre 0 et π/2 ou bien le degré compris entre 0 et 90°. Pour la valeur de π on peut se référer aux pages relatives à ce nombre particulier.
On peut donc définir les fonctions trigonométriques relatives à l'angle  :
cos ⁡ ( A ^ ) = côte adjacent hypothénuse , sin ⁡ ( A ^ ) = côte opposé hypothénuse , tan ⁡ ( A ^ ) = côte opposé côté adjacent .
Si on observe ces trois égalités, on remarque :
tan ⁡ ( A ^ ) = côte opposé hypothénuse côte adjacent hypothénuse = sin ⁡ ( A ^ ) cos ⁡ ( A ^ )

Le cercle trigonométrique

Présentation

Ces relations de trigonométrie peuvent être également décrites à l'aide d'un cercle de rayon unité centré sur l'origine d'un plan et définissent les fonctions trigonométriques.

On considère le triangle rectangle OXMM, rectangle en XM, l'hypoténuse correspond au rayon du cercle de rayon 1, le côté adjacent correspond au côté OXM , ce qui fait que la valeur du point XM correspond au cosinus de l'angle θ.
Le segment XMM, qui représente le côté opposé, est de longueur identique au segment OYM qui représente donc le sinus de l'angle θ.
Si on applique le théorème de Pythagore sur ce triangle, on obtient : cos 2 ⁡ ( θ ) + sin 2 ⁡ ( θ ) = 1 .

On considère maintenant le triangle rectangle OBC, rectangle en B. Dans ce cas le segment OB, de longueur 1, représente le côté adjacent et le segment BC représente le côté opposé qui est égal à la tangente de l'angle θ.

En observant le cercle, on remarque que les fonctions trigonométriqes sont défines modulo 2π (π pour la tangente), d'ou le nom de fonctions circulaires. Ce qui donne :
cos ⁡ ( θ ) = cos ⁡ ( θ + 2 ⁢ k ⁢ π ) , sin ⁡ ( θ ) = sin ⁡ ( θ + 2 ⁢ k ⁢ π ) , tan ⁡ ( θ ) = tan ⁡ ( θ + k ⁢ π )

Les symétries observées sur le cercle trigonométrique, nous permettent de définir une première propriété pour ces trois fonctions.

  • cos ⁡ ( - θ ) = cos ⁡ ( θ )
  • sin ⁡ ( - θ ) = - sin ⁡ ( θ )
  • tan ⁡ ( - θ ) = - tan ⁡ ( θ )

Valeurs particulières
θ ⁢ ( ∘ ) θ ⁢ ( r ⁢ a ⁢ d ) cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) 0 0 1 0 0 30 π 6 3 2 1 2 1 3 45 π 4 2 2 2 2 1 60 π 3 1 2 3 2 3 90 π 2 0 1 ∞ 120 2 ⁢ π 3 - 1 2 3 2 - 3 135 3 ⁢ π 4 - 2 2 2 2 - 1 150 5 ⁢ π 6 - 3 2 1 2 - 1 3 180 π - 1 0 0 210 7 ⁢ π 6 - 3 2 - 1 2 1 3 225 5 ⁢ π 4 - 2 2 - 2 2 1 240 4 ⁢ π 3 - 1 2 - 3 2 3 270 3 ⁢ π 2 0 - 1 ∞ 300 5 ⁢ π 3 1 2 - 3 2 - 3 315 7 ⁢ π 4 2 2 - 2 2 - 1 330 11 ⁢ π 6 3 2 - 1 2 - 1 3

Exemples

θ = 35° = 0.61086523819802 rad

cos(θ) = 0.81915204428899
sin(θ) = 0.81915204428899

θ = -125° = -2.1816615649929 rad

cos(θ) = -0.57357643635105
sin(θ) = -0.57357643635105

Le cosinus de θ est 0.79863551004729

Cela donne deux valeurs de θ
  • θ = 37° = 0.6457718232379 rad, sin(θ)=0.60181502315205
  • θ = -37° = -0.6457718232379 rad, sin(θ)=-0.60181502315205

Le sinus de θ est 0.4067366430758

Cela donne deux valeurs de θ
  • θ = 24° = 0.41887902047864 rad, cos(θ)=0.9135454576426
  • θ = 156° = 2.7227136331112 rad, cos(θ)=-0.9135454576426

Jouons avec le cercle trigonométrique

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Propriétés

Dans le tableau des valeurs, on remarque que ce sont souvent les mêmes valeurs qui reviennent pour la même fonction, mais également entre les fonctions sinus et cosinus. Cela donne les propriétés :

sin ⁡ ( θ + π 2 ) = cos ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ + π 2 ) = - sin ⁡ ( θ )
sin ⁡ ( θ + π ) = - sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ + π ) = - cos ⁡ ( θ )

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