Fonction logarithmique

Définition

La fonction logarithme naturel ou népérien, en référence à John Napier, est une bijection réciproque de la fonction exponentielle. Le logarithme naturel est noté ln ou bien log (log étant quelques fois réservé au logarithme décimal).
A l'inverse de la fonction exponentielle, il transforme un produit en somme : $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$ c'est cette propriété qui est utilisé dans la règle à calcul pour effectuer le produit de deux nombre en utilisant la translation d'échelle logarithmique.

Etude de la fonction

$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$

La fonction est définie de ℝ^*₊ vers ℝ
Limites :

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=<mn>-\infty </mn>$

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=<mn>+\infty </mn>$

Dérivée :

$f\text{'}(x)=\frac{1}{\exp \left(\ln \right(x\left)\right)}=\frac{1}{x}$

on a utilisé la dérivée de la composée avec la réciproque

Tableau de variations

x	-∞		+∞
f '(x)		+
f(x)	-∞	↗	+∞

Courbe :

Le logarithme de base a

Comme pour l'exponentielle, il existe différentes bases logarithmiques qui sont les réciproques des exponentielles de base a. On peut calculer le logarithme de base a à partir du logarithme naturel avec la relation : ${\ln }_a(x)={\displaystyle \frac{\ln (x)}{\ln (a)}}$ Il existe deux bases qui sont très utilisées, le logarithme à base 10 noté log₁₀ ou Log avec un L majuscule qui est utilisé en physique (son, radio, ...) et le logarithme à base 2 noté log₂ utilisé dans les technologies du numérique.