Principe mathématique de la règle à calcul

Le principe mathématique : la translation d'échelle

Translation avec une échelle linéaire : addition

$\begin{array}[]{rcl}d_{3}&=&d_{1}+d_{2}\\ x_{3}&=&x_{1}+x_{2}\\ 6&=&2+4\end{array}$

Translation avec une échelle logarithmique : multiplication

$\begin{array}[]{rcl}d_{3}&=&d_{1}+d_{2}\\ Log(x_{3})&=&Log(x_{1})+Log(x_{2})\\ Log(x_{3})&=&Log(x_{1}\times x_{2})\\ x_{3}&=&x_{1}\times x_{2}\\ 3,75&=&1,5\times 2,5\\ \end{array}$

on trouve une vidéo de Mickaël Launay ici (micmaths).

Tracé d'une échelle logarithmique linéaire

Echelle logarithmique X de 1 à 10

Avec une règle graduée en centimètres, on propose de tracer une échelle logarithmique de 1 à 10 sur une échelle de 0 à 10cm. Le principe est simple, il suffit de calculer les logarithmes décimaux de 1 à 10, de multiplier le résultat obtenu par la valeur maximale de l'échelle souhaitée, puis de positionner cette valeur sur l'échelle graduée en cm.
Par exemple, avec une échelle graduée de 0 à 10cm, la valeur 2 est positionnée à $\displaystyle\Log(2)\times 10cm\approx 3cm$ .

Echelle logarithmique X² des carrés de 1 à 10

Cette fois on prend les logarithmes de 1 à 100 sur une échelle de 0 à 10cm. On calcule le logarithme décimal du carré de X, il faut donc diviser le résultat par 2 avant de le positionner sur la règle graduée.
Par exemple, en gardant l'échelle graduée de 0 à 10cm, la valeur 4 est positionnée à $\displaystyle\frac{1}{2}\Log(4)\times 10cm\approx 3cm$ qui se trouve bien à la même position que la valeur 2 de l'échelle X.

Echelle logarithmique arcsin(0.1X) de 6° à 90°

Maintenant on propose de tracer les valeurs de la fonction arcsinus sur une échelle logarithmique de façon à positionner arcsin(0.1X) sur l'échelle graduée de 0 à 10cm. On calcule les positions de 6° à 90° angle qui se trouve donc à la position 10cm.
Par exemple, en gardant toujours l'échelle graduée de 0 à 10cm, la valeur 45° est positionnée à $\displaystyle\Log(\sin(45))\times 10+10\approx 8.5cm$ qui se trouve approximativement à la même position que la valeur 7 sur l'échelle X.

Exemple d'échelles logarithmiques pour une échelle de longueur 10cm.

Donner la formule qui permet de tracer l'échelle logarithmique X à partir d'une échelle de longueur l en cm
Donner la formule qui permet de tracer l'échelle logarithmique X² à partir d'une échelle de longueur l en cm
Donner la formule qui permet de tracer l'échelle logarithmique arcsin(0.1X) à partir d'une échelle de longueur l en cm
Expliquer pourquoi l'échelle de l'arcsinus commence à 6°
Quelle est la valeur en ° de l'échelle arcsinus correspond à la position 0cm ?