La preuve par neuf, qui utilise le modulo 9, permet de montrer s'il y a une erreur dans une opération, cela ne signifie pas pour autant que le résultat de l'opération est juste, mais si la preuve par neuf est fausse alors le résultat de l'opération est obligatoirement faux.
L'addition
Faire la preuve de l'addition
1
1
1
1
6
2
5
6
+
8
6
4
5
2
4
9
0
1
On calcul la somme des chiffres de la première opérande
On calcule la somme des chiffres de la première opérande que l'on positionne en haut
1 + 6 + 2 + 5 + 6 = 20 ➜ 2 + 0 = 2
On calcule la somme des chiffres de la deuxième opérande que l'on positionne en bas
8 + 6 + 4 + 5 = 23 ➜ 2 + 3 = 5
On calcule la somme du haut et du bas modulo 9 : 2 + 5=7 que l'on positionne à gauche
On calcul la somme des chiffres du résultat que l'on positionne à droite
2 + 4 + 9 + 0 + 1 = 16 ➜ 1 + 6 = 7
On compare le chiffre de droite et le chiffre de gauche
7=7, l'addition est peut être juste
Prendre un papier et un crayon, puis demander
Solution [ Voir ]
La soustraction
Faire la preuve de la soustraction
8
2
3
4
-
6
2
6
5
1
1
1
1
9
6
9
On calcule la somme des chiffres de la première opérande que l'on positionne en haut
8 + 2 + 3 + 4 = 17 ➜ 1 + 7 = 8
On calcule la somme des chiffres de la deuxième opérande que l'on positionne en bas
6 + 2 + 6 + 5 = 19 ➜ 1 + 9 = 10 ➜ 1 + 0 = 1
On calcule la différence du haut et du bas modulo 9 : 8 - 1=7 que l'on positionne à gauche
On calcul la somme des chiffres du résultat que l'on positionne à droite
1 + 9 + 6 + 9 = 25 ➜ 2 + 5 = 7
On compare le chiffre de droite et le chiffre de gauche
7=7, la soustraction est peut être juste
Prendre un papier et un crayon, puis demander
Solution [ Voir ]
La multiplication
Faire la preuve de la multiplication
1
2
5
3
7
x
1
0
2
3
3
7
6
1
1
2
5
0
7
4
.
1
2
5
3
7
.
.
.
1
2
8
2
5
3
5
1
On calcule la somme des chiffres de la première opérande que l'on positionne en haut
1 + 2 + 5 + 3 + 7 = 18 ➜ 1 + 8 = 9 ➜ 0
On calcule la somme des chiffres de la deuxième opérande que l'on positionne en bas
1 + 0 + 2 + 3 = 6
On calcule la somme du haut et du bas modulo 9 : 0 x 6=0 que l'on positionne à gauche
On calcul la somme des chiffres du résultat que l'on positionne à droite
1 + 2 + 8 + 2 + 5 + 3 + 5 + 1 = 27 ➜ 2 + 7 = 9 ➜ 0
On compare le chiffre de droite et le chiffre de gauche
0=0, la multiplication est peut être juste
Prendre un papier et un crayon, puis demander
Solution [ Voir ]
La division
Faire la preuve de la division
1
1
7
1
4
1
1
2
5
1
4
1
0
4
6
6
On calcule la somme des chiffres du diviseur que l'on positionne en haut
1 + 1 + 2 = 4
On calcule la somme des chiffres du quotient que l'on positionne en bas
1 + 0 + 4 = 5
On calcule du haut et du bas modulo 9 : 4 x 5 + 3 = 5 que l'on positionne à gauche
On calcule la somme des chiffres du dividende que l'on positionne à droite
1 + 1 + 7 + 1 + 4 = 14 ➜ 1 + 4 = 5
On compare le chiffre de droite et le chiffre de gauche
5=5, la division est peut être juste
Prendre un papier et un crayon, puis demander
Solution [ Voir ]
Le modulo
Le modulo est le reste de la division, par exemple le reste de la division 2345 par 9, qui vaut 5, s'écrit 2345 mod 9 =5
Les nombres sont exprimés en base 10, c'est à dire qu'il peut se décomposer en : chiffre des unités + chiffre des dizaines multiplié par 10 + chiffre des centaines multiplié par 100 + ...
Par exemple, 2345 = 2x1000 + 3x100 + 4x10 + 5=2000+300+40+5 . On appelle cela des puissances de 10. La preuve par 9 utilise une propriété du modulo 9 qui est :
1 mod 9=10 mod 9=100 mod 9=1000 mod 9=1 et ainsi de suite comme le montre les divisions suivantes :
1
9
1
0
1
0
9
1
1
1
0
0
9
1
0
1
1
1
1
0
0
0
9
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
9
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
Les divisions ci-dessus donnent le même reste 1. Ceci reste valable pour tous les autres chiffres de 2 à 9.
Choisir une division de
×10n par 9 :
Voir des autres divisions demandées [ Voir ]
On peut remarquer que le reste vaut 0 pour le chiffre 9, ce qui fait que l'on peut changer les résultats égaux à 9 par 0 dans le calcul de la preuve par neuf.
Avec cette propriété, on peut déduire le reste de 2345 divisé par 9 (2345 mod 9)