Puissance entière et racine n^ième

Puissance entière

Définition

La puissance entière, qui s'écrit aⁿ, est le produit de a avec lui-même n fois : $a^n=\underset{nfois}{\underbrace{a\times a\times a\times a\times \mathrm{\dots }\times a}}$ avec a ∈ ℝ (ensemble des entiers).

Propriétés

• ${\displaystyle a^0=1}$ avec a ∈ ℝ
• ${\displaystyle 0^{\mathrm{n}}=0}$ ∀ n ∈ ℕ^*
• ${\displaystyle 1^{\mathrm{n}}=1}$ ∀ n ∈ ℕ^*
• ${\displaystyle a^0=1}$
• ${\displaystyle a^{\mathrm{m}}\times a^{\mathrm{n}}=a^{m+n}}$ a ∈ ℝ et ∀ m,n ∈ ℕ à l'exclusion de a=m=n=0
• ${\displaystyle \frac{a^{\mathrm{m}}}{a^{\mathrm{n}}}=a^{m-n}}$ a ∈ ℝ^* et ∀ m,n ∈ ℕ
• ${\displaystyle {\left(a^n\right)}^m=a^{nm}=a^{mn}={\left(a^m\right)}^n}$
• ${\displaystyle {\left(ab\right)}^n=a^n{b}^n}$ a,b ∈ ℝ et ∀ m,n ∈ ℕ à l'exclusion de a=n=0 ou b=n=0.
• ${\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}}$ a ∈ ℝ b ∈ ℝ^* et ∀ m,n ∈ ℕ

Exemples

• ${\displaystyle {\left(4^3\right)}^2=4^{3*2}=4^6=4096}$

Prendre un papier et un crayon, puis demander un calcul

Cas de 0 à la puissance 0

${\displaystyle 0^0=1}$ n'est pas toujours vrai, dans certains cas ${\displaystyle 0^0}$ n'est pas défini.

Les puissances de 10

On utilise les puissances de 10 pour exprimer les différents multiples d'une unité comme dans les cas des unités de longueur :

• kilomètre (km) = 1000 m=10³m
• hectomètre (hm) = 100 m=10²m
• décamètre (dam) = 10 m=10¹m
• mètre (m) = 1 m
• décimètre (dm) = 0.1 m=10^-1m
• centimètre (cm) = 0.01 m=10^-2m
• millimètre (mm) = 0.001 m=10^-3m

, des unités de volumes

• kilomètre cube (km³) = 1000000000 m³=10⁹m³
• hectomètre cube (hm³) = 1000000 m³=10⁶m³
• décamètre cube (dam³) = 1000 m³=10³m³
• mètre cube (m³) = 1 m³
• décimètre cube (dm³) = 0.001 m³=10^-3m³
• centimètre cube (cm³) = 0.000001 m³=10^-6m³
• millimètre cube (mm³) = 0.000000001 m³=10^-9m³

ou encore des unités de temps :

• Le dixième de seconde (déciseconde) : 0,1s=10^-1s
• Le centième de seconde (centiseconde) : 0,01s=10^-2s
• Le millième de seconde (milliseconde): 0,001s=1ms=10^-3s
• Le millionième de seconde (microseconde): 0,000001s=1µs=10^-6s
• Le milliardième de seconde (nanoseconde): 0,000000001s=1ns=10^-9s

On utilise également les puissances de 10 dans la notation scientifique des nombres réels de la forme m × 10ⁿ avec m qui est la mantisse et n qui est l'exposant, comme par exemple : 125,67=1,2567×10² où 1,2567 est la mantisse et 2 l'exposant, cette notation est utilisée dans les calculatrices.

Opérations sur les nombres en notation scientifique

• L'addition de deux nombres en notation scientifiques nécessite de les écrire avec le même exposant puis d'additionner les mantisses
• La soustraction de deux nombres en notation scientifiques nécessite de les écrire avec le même exposant puis de soustraire les mantisses
• La multiplication de deux nombres en notation scientifique consiste à multiplier les mantisses et ajouter les exposants
• La division de deux nombres en notation scientifique consiste à diviser les mantisses et soustraire les exposants

Exemples d'opérations

Prendre un papier et un crayon, puis demander une opération

Racine n^ième

Définitions

La racine n^ième , notée $\sqrt[n]{a}$ , est la réciproque de la puissance entière et s'écrit également ${\displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}}$.

Si n est pair, la racine n^ième est défini pour a ∈ ℝ₊ (a positif ou nul), dans le cas contraire elle définie dans l'ensemble des complexes ℂ. Si n est impair, elle est définie pour a ∈ ℝ.

pour n=2 on a la racine carrée.

Propriétés

• ${\displaystyle \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}}$
• ${\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=}\sqrt[mn]{a}$
• ${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$
${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}}$

Pour toutes ces propriétés il faut bien évidemment prendre en compte la parité de n, voir de m. Ces propriétés sont valables pour la racine carrée (n=2).