Les fractions, définitions et opérations

Présentation

Définitions

Une fraction est une division entière ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ qui n'est pas calculée. Elle permet d'exprimer une quantité dans le langage courant, comme par exemple ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ litre à la place de 0.5l ou 50cl (voir unités et volumes). Elle permet également de représenter la valeur exact de certains nombres à virgule comme ${\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 0,333\mathrm{\dots }$ qui ne peut être exprimé que par une valeur approchée 0,333.
Dans la fraction ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, a représente le numérateur et b le dénominateur. L'intérêt des fractions réside également dans le fait que l'on peut faire des opérations sans calculer la division représentée par la fraction de façon à ne pas cumuler les erreurs d'arrondis dans les calculs.

Fractions irréductibles

Les fractions qui donnent le même quotient sont équivalentes comme par exemple : ${\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{6}{21}}={\displaystyle \frac{4}{14}}$, la fraction qui possède les plus petites valeurs, et, qui ne peut donc plus être réduite est dite irréductible. Modifier une fraction afin de la rendre irréductible s'appelle la simplification qui peut être faite en utilisant le PGCD du numérateur et du dénominateur ou encore en utilisant la décomposition en produits de facteurs premiers.

Addition

L'addition de fraction de même dénominateur est directe en additionnant les numérateurs, comme par exemple : ${\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$
Dans le cas de dénominateurs différents, il faut réduire les fractions au même dénominateur en multipliant le numérateur et dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième et en multipliant le numérateur et dénominateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction. On utilise donc des fractions équivalentes de même dénominateur afin de pouvoir faire l'addition. Cela peut s'écrire en utilisant la formule générale : ${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\times d}{b\times d}}+{\displaystyle \frac{c\times b}{d\times b}}={\displaystyle \frac{a\times d+c\times b}{b\times d}}$. Afin de simplifier les calculs, il est possible d'utiliser un multiple commun aux deux dénominateurs, et ainsi de multiplier le numérateur de la première fraction par le quotient de ce multiplicateur par le dénominateur de la première fraction. On procède de même pour la deuxième fraction, on obtient ainsi le résultat en additionnant les deux numérateurs et en gardant le dénominateur commun.

Prendre un papier et un crayon, puis demander une addition

Soustraction

La soustraction de fraction de même dénominateur est directe en soustrayant les numérateurs, comme par exemple : ${\displaystyle \frac{3}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$
Dans le cas de dénominateurs différents, il faut réduire les fractions au même dénominateur en multipliant le numérateur et dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième et en multipliant le numérateur et dénominateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction. On utilise donc des fractions équivalentes de même dénominateur afin de pouvoir faire a soustraction. Cela peut s'écrire en utilisant la formule générale : ${\displaystyle \frac{a}{b}}-{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\times d}{b\times d}}-{\displaystyle \frac{c\times b}{d\times b}}={\displaystyle \frac{a\times d-c\times b}{b\times d}}$. Afin de simplifier les calculs, il est possible d'utiliser un multiple commun aux deux dénominateurs, et ainsi de multiplier le numérateur de la première fraction par le quotient de ce multiplicateur par le dénominateur de la première fraction. On procède de même pour la deuxième fraction, on obtient ainsi le résultat en soustrayant les deux numérateurs et en gardant le dénominateur commun.

Prendre un papier et un crayon, puis demander une soustraction

Multiplication

La multiplication de deux fractions consiste à multiplier le numérateur de la première par le numérateur de la deuxième, et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième. Cela peut s'écrire ${\displaystyle \frac{a}{b}}\times {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a\times c}{b\times d}}$. Il est également possible de simplifier les fractions avant de faire le calcul.

Prendre un papier et un crayon, puis demander une multiplication

Division

La division de deux fractions consiste à multiplier la numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième et le dénominateur de la première par le numérateur de la deuxième, ou, dit sous une autre forme multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième.

Prendre un papier et un crayon, puis demander une division