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Fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques

Ce sont les fonctions cosinus, sinus et tangente
Etude de la fonction f(x)=cos(x)
La fonction est définie de ℝ vers [-1,1]
Elle est continue sur ℝ
La fonction cos(x) n'a pas de limites infinies, elle varie entre -1 et +1
Dérivée :
f'(x)=-sin(x)
La fonction est périodique, le tableau de variation est défini sur une période
Tableau de variations
x03.1426.283
f '(x)-0+
f(x)1 ↘ -1 ↗1
Courbe :
Etude de la fonction f(x)=sin(x)
La fonction est définie de ℝ vers [-1,1]
Elle est continue sur ℝ
La fonction sin(x) n'a pas de limites infinies, elle varie entre -1 et +1
Dérivée :
f'(x)=cos(x)
La fonction est périodique, le tableau de variation est défini sur une période
Tableau de variations
x01.5714.7126.283
f '(x)+0-0+
f(x)0 ↗ 1 ↘ -1 ↗0
Courbe :
Etude de la fonction f(x)=tan(x)
La fonction est définie de ℝ vers ℝ.
Elle n'est pas continue sur ℝ, il existe des points de discontinuité périodiques qui respectent la relation ∀ k ∈ ℤ ; x a = ( 2 ⁢ k + 1 ) ⁢ π 2
La fonction tan(x) n'a pas de limites infinies
Dérivée :
f'(x)= ( sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) ) ′ = cos ⁡ ( x ) ⁢ cos ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) ⁢ sin ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 1 cos 2 ⁡ ( x ) = 1 + tan 2 ⁡ ( x )
La fonction est périodique, le tableau de variation est défini sur une période
Tableau de variations
x-1.5711.571
f '(x)+
f(x)-∞ ↗+∞
Courbe :

Les fonctions trigonométriques réciproques

Ce sont les fonctions arccosinus, arcsinus et arctangente
Etude de la fonction f(x)=arccos(x)
La fonction est définie de [-1,1] vers [0,π]
Elle est continue sur [-1,1]
La fonction arccos(x) n'a pas de limites infinies, elle est définie sur un interval borné
Dérivée :
f'(x)= ( arccos ⁡ ( cos ⁡ ( x ) ) ) ′ = 1 - sin ⁡ ( arccos ⁡ ( x ) ) = - 1 1 - x 2
La fonction est définie sur un intervalle borné, le tableau de variation également
Tableau de variations
x-11
f '(x)-
f(x)3.142 ↘0
Courbe :
Etude de la fonction f(x)=arcsin(x)
La fonction est définie de [-1,1] vers [-π/2,π/2]
Elle est continue sur [-1,1]
La fonction arcsin(x) n'a pas de limites infinies, elle est définie sur un intervalle borné
Dérivée :
f'(x)= ( arcsin ⁡ ( sin ⁡ ( x ) ) ) ′ = 1 cos ⁡ ( arcsin ⁡ ( x ) ) = 1 1 - x 2
La fonction est définie sur un intervalle borné, le tableau de variation également
Tableau de variations
x-11
f '(x)+
f(x)-1.571 ↗1.571
Courbe :
Etude de la fonction f(x)=arctan(x)
La fonction est définie de ℝ vers [-π/2,π/2]
Elle est continue sur ℝ
Limites :
limx→-∞f(x)=-1.571
limx→+∞f(x)=1.571
Dérivée :
f'(x)= ( arctan ⁡ ( tan ⁡ ( x ) ) ) ′ = 1 1 + tan 2 ⁡ ( arctan ⁡ ( x ) ) = 1 1 + x 2
Tableau de variations
x-∞+∞
f '(x)+
f(x)-1.571 ↗1.571
Courbe :
Les calculs des dérivées utilisent la dérivée de la composition de fonctions et les formules de trigonométries.
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