Introduction aux fonctions

Définitions

Une fonction est une relation qui relie les éléments d'un premier ensemble aux éléments d'un deuxième ensemble. Le premier ensemble est appelé ensemble de départ. Le deuxième ensemble est appelé ensemble d'arrivée.
L'élément de l'ensemble d'arrivée y qui est en relation avec un ou plusieurs éléments de l'ensemble de départ x est appelé "image" de x. L'élément de l'ensemble de départ x qui est en relation avec un ou plusieurs éléments de l'ensemble d'arrivée y est appelé "antécédent" de y.

La notation pour une fonction f reliant les éléments de l'ensemble de départ A aux éléments de l'ensemble d'arrivée B est :

L'ensemble des éléments auxquels la fonction peut s'appliquer est appelé le domaine de définition et noté : 𝒟_ƒ ⊂ A.

Prenons un exemple
A est l'ensemble des élèves d'une classe, B est l'ensemble des âges de ces élèves compris entre 16 et 20. Ces valeurs dont des entiers. On peut définir l'ensemble B en extension : B={16,17,18,19,20} ou en compréhension : B={x ∈ ℕ| 16 ≤ x ≤ 20}. On définit la relation " est âgé de ".
Il est facile de constater que chaque élément de l'ensemble de départ à une image dans l'ensemble d'arrivée et que chaque élément de l'ensemble d'arrivée peut avoir un ou plusieurs antécédents (les âges ont été choisis de façon à ce que toutes les valeurs aient au moins un antécédent).

Dans ce cas cette fonction est appelée application, Chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent dans l'ensemble de départ, on dit que cette application est dite surjective ou une surjection. Dans le cas où chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un élément dans l'ensemble de départ, l'application est injective ou injection. Un application qui est à la fois surjective et injective, c'est à dire où chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent unique dans l'ensemble de départ est bijective ou une bijection.

La réciproque d'une fonction f(x) est une fonction f ^-1(x) où l'on permute les ensembles de départ et d'arrivée :
Avec cette fonction, , La fonction réciproque est :

Composition

Une composition de deux fonctions correspond à la construction d'une fonction à partir de deux fonctions. L'opérateur de composition est noté : ∘.
On part de deux fonctions :
et
On définit la fonction qui correspond à l'utilisation de ƒ suivi de g qur l'on écrit g(ƒ(x))=(g ∘ f)(x) qui se lit " g rond f" ou encore " f suivi de g" :

Remarque très importante : $(g\circ f)(x)\ne (f\circ g)(x)$

Si on fait la composition d'une bijection suivi de sa réciproque, on obtient la valeur de départ : $(f^{-1}\circ f)(x)=x$.

Exemple :

On définit les fonctions suivantes :
et avec $f(x)=x-1$ et $g(x)=x^2$
On construit les compositions :
et
On obtient : $(g\circ f)(x)=g(f(x))={(x-1)}^2$ et $(f\circ g)(x)=f(g(x))=x^2-1$

Etude d'une fonction

L'étude du comportement et du tracé de la courbe représentative d'une fonction comprend quelques étapes :

1. Définir le domaine de définition 𝒟_ƒ qui, dans le cas d'une fonction polynomiale est ℝ
2. Définir les limites aux bords du domaine de définition qui, ici, est ±∞
3. Définir le comportement de la courbe (croissante ou décroissante) en calculant la dérivée
4. Donner le tableau de variation qui explique le comportement de la courbe
5. Tracer la courbe représentative de la fonction