Fonctions polynomiales

Introduction

Un fonction polynomiale est une fonction dont la relation est un polynôme. On propose d'étudier le comportement de cette fonction afin d'en tracer la courbe représentative.

Le domaine de définition 𝒟_ƒ est ℝ

Fonction polynomiale du premier degré

C'est une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ . On propose d'étudier le tracé de la courbe représentative de cette fonction : $y=ax+b$ . Le domaine de définition est ℝ. Le signe des limites infinies sont définies par le signe de a :

La dérivée est $f^{\prime }(x)=a$ , ce qui signifie que la fonction est croissante si a est positif et décroissante si a est négatif.

Toutes ces informations permettent d'établir le tableau de variation qui dépend du signe de a :

Exemples :

et si on jouait

Prendre un papier et un crayon, puis demander une fonction

Fonction polynomiale du deuxième degré

C'est une fonction de la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$ . On propose d'étudier le tracé de la courbe représentative de cette fonction : $y=a{x}^2+bx+c$ . Le domaine de définition est ℝ. Le signe des limites infinies sont définies par le signe de a :

La dérivée est $f^{\prime }(x)=2ax+b$ , cette dérivée s'annule pour $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$, elle est du signe de a pour x > x₀ et du signe de -a pour x < x₀. Lorsque la dérivée est positive la fonction est croissante, lorsque la dérivée est négative la fonction est décroissante, lorsque la dérivée s'annule, la courbe a une tangente horizontale ce qui correspond à un minimum ou bien un maximum de la courbe.

Toutes ces informations permettent d'établir le tableau de variation qui dépend du signe de a :

Exemples :

et si on jouait

Prendre un papier et un crayon, puis demander une fonction

Fonction polynomiale du troisième degré

C'est une fonction de la forme $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ . On propose d'étudier le tracé de la courbe représentative de cette fonction : $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ . Le domaine de définition est ℝ. Le signe des limites infinies sont définies par le signe de a :

La dérivée est $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ , Si la dérivée ne possède pas de racines réelles ou bien une racine réelle double, le signe de la dérivée est égal au signe de a, dans ce cas le tableau de variation est de la même forme que le tableau de variation d'une fonction de degré 1. Dans le cas où la dérivée possède deux racines réelles (x₁ < x₂), le signe de la dérivée est le signe de a à l'extérieur des racines, et -a entre les deux racines.

Toutes ces informations permettent d'établir le tableau de variation dans le cas d'une dérivée avec deux racines réelles :

Exemples :

et si on jouait

Prendre un papier et un crayon, puis demander une fonction