Logiciels mathématiques

Une feuille de calcul est composée de lignes identifiées par un numéro et de colonnes identifiées par une lettre de l'alphabet. Chaque élément, nommé cellule, est identifié par le couple lettre,chiffre, comme par exemple B2 pour la cellule de la deuxième ligne et de la deuxième colonne.

Chaque cellule peut contenir du texte, une valeur numérique, ou une expression de calcul numérique en fonctions d'autres cellules. Une expression de calcul peut être composée d'opérateurs d'addition, soustraction, multiplication, division ou de fonctions mathématiques comme la racine carrée, l'exponentielle, ... . Cette expression de calcul commence par le signe =.

Les références aux cellules, peuvent être une seule cellule, une liste de références séparées par un ; ou encore une suite de cellule séparées par : .

La commande set, suivie de paramètres, permet de définir la configuration du graphique

• terminal permet de déterminer le terminal pour l'affichage graphique :
  • X11 : ouvre une fenêtre graphique sous linux, 0 pour la première fenêtre, 1 pour la deuxième, ...
  • png : sauvegarde le graphique dans un fichier png e taille défini par les valeurs su paramètre size
• output définit le nom du fichier pour le paramètre png
• title : définit le titre du graphique
• xlabel : définit le nom de l'axe x
• ylabel : définit le nom de l'axe y
• grid : affiche une grille
• xr : définit les valeurs minimales et maximales de l'axe x (yr pour l'axe y)

La commande plot permet d'afficher une ou plusieurs courbe

• f(x) : nom de la fonction à afficher
• lw suivi de la valeur de l'épaisseur du tracé de la courbe
• lc
suivi de la chaîne qui définit la couleur ou bien de la valeur de la couleur au format "#RRVVBB" en hexadécimal

La commande pause suivi d'un temps en secondes, définit le temps d'affichage de la fenêtre graphique, -1 correspond à un temps infini.

(%i5) expand((3*x^3-x^2+4*x+5)*(x+1));
          4      3      2
(%o5)  3 x  + 2 x  + 3 x  + 9 x + 5		
				

(%i8) expand((2*x^3-x^2+3*x+4)*(2*x+1));
          4      2
(%o8)  4 x  + 5 x  + 11 x + 4	
				

(%i13) divide(x^5-x^4-x^3+3*x^2-2*x,x^2-x+1);
          3
(%o13)  [x  - 2 x + 1, x - 1]
				

(%i14) divide(x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1,x+1);
          3      2
(%o14)  [x  + 3 x  + 3 x + 1, 0]
				

(%i15) allroots(x^3+6*x^2+11*x+6);
(%o15) [x = - 0.9999999999999995, x = - 2.0, x = - 3.000000000000001]
				

(%i16) allroots(x^3+3*x^2+3*x+1);
(%o16) [x = 1.260920966343442E-5 %i - 0.9999874799859038, 
        x = (- 1.260920966343442E-5 %i) - 0.9999874799859038, 
        x = - 1.000025040028192]
				

(%i11) factor(x^3+6*x^2+11*x+6);
(%o11)   (x + 1) (x + 2) (x + 3)
				

(%i12) factor(2*x^3+10*x^2+16*x+8);
                        2
(%o12) 2 (x + 1) (x + 2)
				

(%i18) allroots(x^3+2*x^2+2*x+1);
(%o18) [x = 0.8660254037844405 %i - 0.5000000000000003, 
        x = (- 0.8660254037844405 %i) - 0.5000000000000003, 
        x = - 0.9999999999999993]
				

(%i17) factor(x^3+2*x^2+2*x+1);
                  2
(%o17)  (x + 1) (x  + x + 1)
				

(%i3) factor(333);
                  2
(%o3)            3  37
(%i4) factor(242);
                 2
(%o4)        2 11
				

(%i1) factor(490);
                      2
(%o1)            2 5 7
(%i2) factor(2520);
                  3  2
(%o2)            2  3  5 7
				

(%i1) diff(a*x^2+b*x+c,x);
(%o1)            2 a x + b
(%i4) diff((x+a)*(x+b),x);
(%o4)            2 x + b + a
				

(%i2) diff(sin(x),x);
(%o2)             cos(x)
(%i3) diff(sin(2*x+1),x);
(%o3)             2 cos(2 x + 1)
				

Calcul des limites, de la dérivée, des racines de la dérivée, de la valeur de la fonction pour ces points, puis tracé de la courbe.

(%i2) limit(-x^3-6*x^2-8*x-1,x,minf);
(%o2)                               inf
(%i1) limit(-x^3-6*x^2-8*x-1,x,inf);
(%o1)                               minf
(%i3) diff(-x^3-6*x^2-8*x-1,x);
             2
(%o3)  (- 3 x ) - 12 x - 8
(%i4) allroots(-3*x^2-12*x-8);
(%o4)   [x = - 0.8452994616207484, x = - 3.154700538379252]
(%i5) f(x):=-x^3-6*x^2-8*x-1;
                    3       2
(%o5)   f(x) := (- x ) - 6 x  + (- 8) x - 1
(%i6) f(-0.845);
(%o6)     2.079201125
(%i7) f(-3.15);
(%o7)     - 4.079125000000001
(%i11)  plot2d(f(x),[x,-7,3]);
(%o11)    [/tmp/maxout24094.gnuplot_pipes]
				

(%i1) solve([5*x-2*y-z=8,-4*x+y-2*z=-8,x+2*y-z=-4],[x,y,z]);
(%o1)                                   [[x = 1, y = - 2, z = 1]] 
				

(%i2) solve([-3*x-5*y+2*z=-3,4*x+4*y-4*z=-4,-x+y+2*z=7],[x,y,z]);
solve: dependent equations eliminated: (3)
                                      3 %r1 - 8        %r1 - 6
(%o2)                           [[x = ---------, y = - -------, z = %r1]]
                                          2               2
				

(%i3) A:matrix([a,b],[c,d]);
                                                 [ a  b ]
(%o3)                                            [      ]
                                                 [ c  d ]
(%i4) A^^-1;
                                       [      d             b     ]
                                       [  ---------   - --------- ]
                                       [  a d - b c     a d - b c ]
(%o4)                                  [                          ]
                                       [       c           a      ]
                                       [ - ---------   ---------  ]
                                       [   a d - b c   a d - b c  ]
				

(%i5) A:matrix([0,-1,4],[0,5,-3],[-3,-3,-3]);
                                            [  0   - 1   4  ]
                                            [               ]
(%o5)                                       [  0    5   - 3 ]
                                            [               ]
                                            [ - 3  - 3  - 3 ]
(%i6) A^^-1;
                                           [   8     5     1 ]
                                           [ - --  - --  - - ]
                                           [   17    17    3 ]
                                           [                 ]
                                           [  3     4        ]
(%o6)                                      [  --    --    0  ]
                                           [  17    17       ]
                                           [                 ]
                                           [  5     1        ]
                                           [  --    --    0  ]
                                           [  17    17       ]
				

Avec Scilab les coefficients sont représentés par puissances croissantes. La fonction poly(vecteur,variable,type) permet de créer un objet polynôme où le vecteur correspond aux coefficients ou bien aux racines du polynôme, la variable est le nom donné à la variable (ex 'x') et enfin la lettre 'c' pour préciser que les valeurs du vecteur correspondent aux coefficients du polynôme. Enfin disp() permet d'afficher le polynôme.

p1=poly([5 4 -1 3],'x','c');
disp(p1);
p2=poly([1 1 2],'x','c');
disp(p2);
S=p1+p2;
disp(S);
				

exec('poly_addition.sce',-1)

  5 +4x -x² +3x³

  1 +x +2x²

  6 +5x +x² +3x³ 
				

Avec Octave les coefficients sont représentés par puissances décroissantes. Les vecteurs doivent avoir la même taille, il faut donc compléter avec des 0. La fonction polyout(vecteur) permet d'afficher le vecteur sous la forme d'un polynôme. Le code du fichier poly_addition.m est :

p1=[3 -1 4 5];
p2=[0 2 1 1];
polyout(p1,'x')
polyout(p2,'x')
S=p1+p2;
polyout(S,'x')
				

>> poly_addition

3*x^3 - 1*x^2 + 4*x^1 + 5
0*x^3 + 2*x^2 + 1*x^1 + 1
3*x^3 + 1*x^2 + 5*x^1 + 6
>>
				

Avec Scilab, le ficier poly_multiplication.sce est :

p1=poly([5 4 -1 3],'x','c');
disp(p1);
p2=poly([1 1],'x','c');
disp(p2);
S=p1*p2;
disp(S);
				

exec('poly_multiplication.sce', -1)

  5 +4x -x² +3x³

  1 +x

  5 +9x +3x² +2x³ +3x⁴
				

Avec Octave, pour effectuer, il faut utilise la commande conv qui effectue le produit de convolution des coefficients. Le code du fichier poly_multiplication.m est :

p1=[3 -1 4 5];
p2=[1 1];
polyout(p1,'x')
polyout(p2,'x')
P=conv(p1,p2);
polyout(P,'x')
				

>> poly_multiplication

3*x^3 - 1*x^2 + 4*x^1 + 5
1*x^1 + 1
3*x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 9*x^1 + 5
>>
				

Avec Scilab, les racines s'obtiennent avec la commande roots(polynome) appliquée directement au polynôme. Le code du fichier poly_racines.sce est :

p=poly([6 11 6 1],'x','c');
disp(p1);
r=roots(p);
disp(r);
				

exec('poly_racines.sce', -1)

  5 +4x -x² +3x³

  -3. + 0.i
  -2. + 0.i
  -1. + 0.i
				

Avec Octave, les racines s'obtiennent avec la fonction roots(vecteur) où vecteur représente toujours les coefficients du polynôme. Le code du fichier poly_racines.m est :

p=[1 6 11 6];
polyout(p,'x')
r=roots(p)
				

>> poly_racines

1*x^3 + 6*x^2 + 11*x^1 + 6
r =

  -3.0000
  -2.0000
  -1.0000

>>
				

Avec Scilab. Le code du fichier matrice_produit.sce est :

A=[1 5 -1 0;-1 -1 -3 5;5 0 -1 5]
B=[2 4;-5 -3;-3 0;-5 1]
P=A*B
disp('A=',A)
disp('B=',B)
disp('P=AB=',P)					
				

exec('matrice_produit.sce', -1)

  "A="

   1.   5.  -1.   0.
  -1.  -1.  -3.   5.
   5.   0.  -1.   5.

  "B="

   2.   4.
  -5.  -3.
  -3.   0.
  -5.   1.

  "P=AB="

  -20.  -11.
  -13.   4. 
  -12.   25.
				

Avec Octave. Le code du fichier matrice_produit.m est :

A=[1 5 -1 0;-1 -1 -3 5;5 0 -1 5]
B=[2 4;-5 -3;-3 0;-5 1]
P=A*B
				

>> matrice_produit

A =

   1   5  -1   0
  -1  -1  -3   5
   5   0  -1   5

B =

   2   4
  -5  -3
  -3   0
  -5   1

P =

  -20  -11
  -13    4
  -12   25

>>
				

Avec Scilab, on utilise la fonction det(matrice). Le code du fichier matrice_determinant.sce est :

A=[-5 0 -4;-5 4 -1;1 -5 -5]
d=det(A)
disp('A=',A)
disp('d=',d)
				

exec('matrice_determinant.sce', -1)

  "A="

  -5.   0.  -4.
  -5.   4.  -1.
   1.  -5.  -5.

  "d="

   41.000000
				

Avec Octave, on utilise également la fonction det(matrice). Le code du fichier matrice_determinant.m est :

A=[-5 0 -4;-5 4 -1;1 -5 -5]
d=det(A)
				

>> matrice_determinant

A =

  -5   0  -4
  -5   4  -1
   1  -5  -5

d =  41.000
				

Avec Scilab. Ici on utilise la fonction inv(matrice), mais il également possible d'utiliser la puissance A^-1. Le code du fichier matrice_inversion.sce est :

A=[0 5 2;2 -2 5;-3 -3 1]
B=inv(A)
disp('A=',A)
disp('B=',B)
				

exec('matrice_inversion.sce', -1)

  "A="

   0.   5.   2.
   2.  -2.   5.
  -3.  -3.   1.

  "B="

  -0.1192661   0.1009174  -0.266055 
   0.1559633  -0.0550459  -0.0366972
   0.1100917   0.1376147   0.0917431
				

Avec Octave. La fonction inv(matrice) peut être également remplacée par la puissance A^-1. Le code du fichier matrice_inverse.m est :

A=[0 5 2;2 -2 5;-3 -3 1]
B=inv(A)
				

>> matrice_inversion

A =

   0   5   2
   2  -2   5
  -3  -3   1

B =

  -0.119266   0.100917  -0.266055
   0.155963  -0.055046  -0.036697
   0.110092   0.137615   0.091743
				

Avec Scilab. Le code du fichier systeme_equations.sce est :

A=[5 -2 -1;-4 1 -2;1 2 -1]
b=[8;-8;-4]
x=A\b
disp('A=',A)
disp('b=',b)
disp('x=',x)
				

>> exec('systeme_equations.sce', -1)

  "A="

   5.  -2.  -1.
  -4.   1.  -2.
   1.   2.  -1.

  "b="

   8.
  -8.
  -4.

  "x="

   1.
  -2.
   1.
				

Avec Octave. Le code du fichier systeme_equations.m est :

A=[5 -2 -1;-4 1 -2;1 2 -1]
b=[8;-8;-4]
x=A\b
				

>> systeme_equations

A =

   5  -2  -1
  -4   1  -2
   1   2  -1

b =

   8
  -8
  -4

x =

   1
  -2
   1
				

Avec Scilab le résultat est

-->a=8.62
 a  = 
   8.62
-->y=int(a*100)
 y  = 
   861.				
				

Avec Octave le résultat est

>> a=8.62
a =  8.6200
>> y=fix(a*100)
y =  861	
				

Avec dc, pour calculer la négation du nombre on utilise la soustraction z=0-x.

On va stocker cette expression de calcul dans un registre. Donc suivant le signe de la valeur on appliquera ou non l'expression du registre

Il ne faut oublier que pour différencier l'opérateur de soustraction du signe moins d'un nombre négatif, la négation d'un nombre est le symbole _

Afin de transformer le symbole - en _, on utilise la commande linux tr

L'expression du calcul enregistrée dans le registre contient l'incrémentation de k, la comparaison avec la valeur finale, et l'exécution de l'expression à nouveau si la valeur finale n'est pas atteinte. Cela impose d'utiliser trois registres : un pour l'expression de calcul F, un pour la commande de sortie du calcul Q et un pour le nombre d'itération n.

• + - / * % pour le modulo, ^ pour la puissance
• = pour l'affectation du résultat du calcul d'une expression à une variable
• obase=n : définit la base n pour l'affichage (défaut 10)
• ibase=n : définit la base n pour les valeurs d'entrée (défaut 10)
• print pour l'affichage sur la sortie standard, les données et chaînes sont séparées par des virgules
• quit : pour terminer le script, utilisé dans un fichier de script
• scale(s) : s chiffres après la virgule, 0 par défaut

• sqrt(x) : pour le calcul de la racine carrée de x
• l(x) : pour le calcul du logarithme naturel de x
• e(x) : pour le calcul de l'exponentielle de x
• c(x) : pour le cosinus de x avec x en radians
• s(x) : pour le sinus de x avec x en radians
• a(x) : pour l'arc tangente de x

• Calcul et technologies
• Un peu de géométrie
• Plus de mathématiques
• Jeux mathématiques
• Systèmes électroniques
• Réseaux et télécommunications