Modulation analogique

Spectre des signaux

Signaux

Les principaux signaux utilisés sont les fonctions sinusoïdales ainsi que l'impulsion ou distribution de Dirac et l'échelon d'Heaviside.

L'impulsion de Dirac est définie par

\displaystyle\delta(x)=\left\{\begin{array}[]{rl}+\infty,&x=0\\ 0,&x\neq 0\end{array}\right.

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta(x)dx}=1

Dans le domaine des sciences et technologies, on la définit au sens des distributions avec

\displaystyle\delta(x)=\left\{\begin{array}[]{rl}1,&x=0\\ 0,&x\neq 0\end{array}\right.

L'échelon d'Heaviside est défini par

\displaystyle u(x)=\left\{\begin{array}[]{rl}0,&x<0\\ 1,&x\geq 0\end{array}\right.

Dans le cas présent on définit la valeur en 0 comme étant égale à 1, mais on trouve quelques fois

\frac{1}{2}

La dérivée de l'échelon est la distribution de Dirac.

La somme de deux échelons retardés permet de définir la fonction porte :

\displaystyle\sqcap(x)=u\left(x+\frac{1}{2}\right)-u\left(x-\frac{1}{2}\right)% =\left\{\begin{array}[]{rl}0,&x<-\frac{1}{2}\text{ ou }x>\frac{1}{2}\\ 1,&-\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{1}{2}\end{array}\right.

Le produit de convolution

Définition

Le produit de convolution de deux fonctions est défini avec la relation :

\displaystyle f(x)*g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x-t)g(t)dt}=\int_{-\infty}^% {+\infty}{f(t)g(x-t)dt}

Cette définition fait apparaître la propriété de commutativité du produit de convolution.

Produit de convolution avec l'impulsion de Dirac

On définit la fonction porte suivante :

\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}\sqcap\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)=% \left\{\begin{array}[]{rl}\frac{1}{\varepsilon},&-\frac{\varepsilon}{2}\leq x% \leq\frac{\varepsilon}{2}\\ 0,&x<-\frac{\varepsilon}{2}\text{ ou }x>\frac{\varepsilon}{2}\end{array}\right.

avec

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{1}{\varepsilon}\sqcap\left(\frac{x% }{\varepsilon}\right)dx}=\frac{1}{\varepsilon}\int_{-\frac{\varepsilon}{2}}^{+% \frac{\varepsilon}{2}}{dx}=1

Le produit de convolution d'une fonction f(x) avec cette fonction s'écrit :

\displaystyle f(x)\text{*}\frac{1}{\varepsilon}\sqcap\left(\frac{x}{% \varepsilon}\right)=\frac{1}{\varepsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\sqcap% \left(\frac{x}{\varepsilon}-t\right)dt}=\frac{1}{\varepsilon}\int_{x-\frac{% \varepsilon}{2}}^{x+\frac{\varepsilon}{2}}{f(t)dt}

qui représente la valeur moyenne de f(x) sur l'intervalle [x-ε/2 x+ε/2], cette valeur moyenne tend vers f(x) lorsque ε tend vers 0 :

\displaystyle f(x)\text{*}\delta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{\frac{1}{% \varepsilon}\int_{x-\frac{\varepsilon}{2}}^{x+\frac{\varepsilon}{2}}{f(t)dt}}=% f(x)

Ce résultat montre que l'impulsion de Dirac δ(x) est l'élément neutre du produit de convolution.

Le produit de convolution d'une fonction avec une impulsion de Dirac retardée vaut :

\displaystyle f(x)\text{*}\delta(x-x_{0})=f(x-x_{0})

qui donne dans le cas d'une porte :

\displaystyle\sqcap(x)*\delta(x-x_{0})=\sqcap(x-x_{0})

Exemple de produit de convolution de deux fonctions portes

x < -1 :

Aucune intersection, r(x)=0

-1 ≤ x ≤ 0

L'intersection représente r(x) qui vaut

r (x) = (x + \frac{1}{2}) - (- \frac{1}{2}) = x + 1

0 ≤ x ≤ 1 :

L'intersection représente r(x) qui vaut

r (x) = \frac{1}{2} - (x - \frac{1}{2}) = 1 - x

x > 1 :

Aucune intersection, r(x)=0

Finalement, sur l'intervalle -1 ≤ x ≤ 1 :

r (x) = 1 - | x |

Ce qui donne

\displaystyle r(x)=\sqcap(x)\text{*}\sqcap(x)=\sqcap\left(\frac{x}{2}\right)% \left(1-|x|\right)

Spectre fréquentiel

L'obtention du spectre fréquentiel d'une fonction quelconque se fait avec la transformée de Fourier qui est définie par

\displaystyle\mathcal{F}\left(f(t)\right)=F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)e^% {-2j\pi ft}dt}

j représente le complexe tel que j²=-1

Du point de vue mathématique, le calcul se fait de -∞ à +∞, le résultat du calcul est également sur cet intervalle, ce qui fait que le spectre calculé comprend des fréquences négatives et des fréquences positives, même si les données sont définies sur [0,+∞[ le résultat sera sur ]-∞,+∞[.

Linéarité :

\displaystyle\mathcal{F}[af_{1}(t)+bf_{2}(t)]=a\mathcal{F}[f_{1}(t)]+b\mathcal% {F}[f_{2}(t)]

Transformée de l'impulsion de Dirac et du signal continu d'amplitude 1 :

\displaystyle f(t)=\delta(t)\Rightarrow F(f)=1

\displaystyle f(t)=1\Rightarrow F(f)=\delta(f)

Transformée de la porte temporelle de largeur T

\displaystyle f(t)=\sqcap\left(\frac{t}{T}\right)\Rightarrow F(f)=T\frac{\sin(% \pi Tf)}{\pi Tf}

Transformée de la porte fréquentielle

\displaystyle f(t)=F_{0}\frac{\sin(\pi F_{0}t)}{\pi F_{0}t}\Rightarrow F(f)=% \sqcap\left(\frac{f}{F_{0}}\right)

Transformée d'un signal sinusoïdal

\displaystyle f(t)=e^{2j\pi f_{0}t}\Rightarrow F(f)=\delta(f-f_{0})

\displaystyle f(t)=\cos(2\pi f_{0}t)\Rightarrow F(f)=\frac{1}{2}\left(\delta(f% -f_{0})+\delta(f+f_{0})\right)

Décalage temporel

\displaystyle f(t-t_{0})\Rightarrow e^{-2j\pi ft_{0}}F(f)

Décalage fréquentiel

\displaystyle e^{-2j\pi f_{0}t}f(t)\Rightarrow F(f-f_{0})

Multiplication dans le domaine fréquentiel, produit de convolution dans le domaine temporel : c'est le filtrage

\displaystyle f(t)*h(t)\Rightarrow F(f)H(f)

Multiplication dans le domaine temporel, produit de convolution dans le domaine fréquentiel : c'est la modulation

\displaystyle f(t)p(t)\Rightarrow F(f)*P(f)

\displaystyle f(t)e^{2j\pi f_{p}t}\Rightarrow F(f-f_{p})

\displaystyle f(t)cos(2\pi f_{p}t)\Rightarrow\frac{1}{2}\left(F(f-f_{p})+F(f+f% _{p})\right)

Ces relations seront utiles pour les calculs des spectres des signaux modulés

Modulation d'amplitude

Avec une modulation d'amplitude le signal s(t) contenant l'information modifie l'amplitude d'une fonction sinusoïdale de fréquence bien plus élevée appelée porteuse p(t) pour former le signal modulé r(t).

Modulation d'amplitude avec porteuse

L'opération effectuée est de la forme :

\displaystyle r(t)=\left(1+ms(t)\right)A\cos(2\pi f_{p}t)

avec m qui est le taux de modulation, s(t) le signal qui contient l'information, f_p la fréquence de la porteuse radio.

En appliquant la transformée de Fourier, le spectre s'écrit

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}R(f)&=&\mathcal{F}\left[(1+ms(t))A\cos(2\pi f% _{p}t)\right]\\ &=&\mathcal{F}\left[A\cos(2\pi f_{p}t)+ms(t)A\cos(2\pi f_{p}t)\right]\\ &=&\mathcal{F}\left[A\cos(2\pi f_{p}t)\right]+\mathcal{F}\left[ms(t)A\cos(2\pi f% _{p}t)\right]\\ &=&\frac{A}{2}\left[\delta(f-f_{p})+\delta(f+f_{p})\right]+m\frac{A}{2}\left[S% (f-f_{p})+S(f+f_{p})\right]\end{array}

L'exemple ci-contre a été réalisé avec un signal périodique de fréquence de récurrence de 5Hz, Le spectre comporte donc des fréquences multiples de 5Hz et d'amplitude d'environ 0.2. La fréquence de la porteuse est de 100Hz avec A=1, le taux de modulation est de 0.5.

Le spectre du signal modulé comporte deux Dirac d'amplitudes 1/2 qui sont au centre des spectres (positifs et négatifs) du signal d'information avec une amplitude d(environ 0.05 car multiplié par 0.2×m/2=0.2×0.25=0.05

Ces calculs simplifiés permettent de vérifier que les valeurs sur les graphiques sont cohérentes.

Modulation d'amplitude sans porteuse

L'opération effectuée est de la forme :

\displaystyle r(t)=ms(t)A\cos(2\pi f_{p}t)

avec m qui est le taux de modulation, s(t) le signal qui contient l'information, f_p la fréquence de la porteuse radio.

En appliquant la transformée de Fourier, le spectre s'écrit

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}R(f)&=&\mathcal{F}\left[ms(t)A\cos(2\pi f_{p}% t)\right]\\ &=&m\frac{A}{2}\left[S(f-f_{p})+S(f+f_{p})\right]\end{array}

L'exemple a été réalisé avec le même signal que celui du paragraphe précédent. La différence est l'absence de la fréquence de la porteuse dans le spectre. Ce qui a pour conséquence de diminuer l'énergie consommée, car la porteuse seule ne contient pas d'informations et n'est donc pas utile.

Le terme "sans porteuse" ne signifie pas qu'il n'y a pas de porteuse mais que la composante fréquentielle de la porteuse n'est plus présente dans le signal modulé.

Modulation à bande latérale unique (BLU)

La Bande latérale unique (BLU) est modulation d'amplitude sans porteuse dans laquelle on a supprimer la redondance du spectre sans altérer l'information transmise, réduisant ainsi l'énergie consommée.

L'opération effectuée reste la même que dans la modulation précédente :

\displaystyle r(t)=ms(t)A\cos(2\pi f_{p}t)

Mais elle est suivie d'un filtre qui permet de "supprimer" une partie du spectre, ou plus précisément d'atténuer cette partie du spectre.

Avant filtrage le spectre s'écrit toujours :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}R(f)&=&\mathcal{F}\left[ms(t)A\cos(2\pi f_{p}% t)\right]\\ &=&m\frac{A}{2}\left[S(f-f_{p})+S(f+f_{p})\right]\end{array}

Dans l'exemple, on a ajouté un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure F_p. ce qui donne le spectre :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}R(f)&=&m\frac{A}{2}\left[S(f-f_{p})+S(f+f_{p}% )\right]\sqcap\left(\frac{f}{f_{p}}\right)\\ &=&m\frac{A}{2}S(f-f_{p})\end{array}

Démodulation par détection synchrone

Principe

La détection synchrone consiste à multiplier le signal modulé par une fonction sinusoïdale de fréquence f_p, puis à filtrer le signal obtenu avec un filtre passe-bas de fréquence de coupure supérieure ou égale à la fréquence maximale du spectre du signal information.

Détection synchrone d'un signal modulé avec porteuse

Le signal est de la forme :

\displaystyle r(t)=R(1+ms(t))\cos(2\pi f_{p}t)

Après multiplication il devient :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}r(t)&=&R(1+ms(t))\cos^{2}(2\pi f_{p}t)\\ &=&R(1+ms(t))\left[\frac{1+\cos(4\pi f_{p}t)}{2}\right]\\ &=&\frac{R}{2}\left[1+\cos(4\pi f_{p}t)+ms(t)+ms(t)\cos(4\pi f_{p}t)\right]% \end{array}

qui donne le spectre avant filtrage :

\displaystyle R(f)=\frac{R}{2}\left[\delta(f)+\frac{1}{2}\delta(f-2f_{p})+% \frac{1}{2}\delta(f+2f_{p})+mS(f)+\frac{m}{2}S(f-2f_{p})+\frac{m}{2}S(f+2f_{p}% )\right]

Détection synchrone des autres modulations d'amplitude

cas de la modulation synchrone sans porteuse

cas de la modulation BLU

Démodulation par détection d'enveloppe

Cette méthodes est uniquement valable pour une modulation d'amplitude avec porteuse. Il s'agit de redresser le signal modulé puis de le filtrer. Le redressement correspond à celui réalisé en électronique avec une diode, du point de vue mathématique, il s'agit de la valeur absolue.

Modulation angulaire

Définitions

C'est la phase instantanée de la porteuse qui est modifiée par le signal modulant qui contient l'information.

r(t)=cos(θ(t)) avec θ(t) qui est la phase instantanée et $ω (t) = \frac{dθ}{dt}$ qui est la pulsation instantanée.
Si θ(t) est directement proportionnel au signal modulant, on a une modulation de phase.
Si ω(t) est directement proportionnel au signal modulant, on a une modulation de phase.

Exemple avec un signal modulant sinusoïdal s(t)=Scos(2πf_st)

Modulation de phase :
$\displaystyle\theta(t)=2\pi f_{p}t+mS\cos(2\pi f_{p}t)$
avec qui est le taux de modulation
Modulation de fréquence :
$\displaystyle\omega(t)=2\pi f_{p}+2\pi\Delta f_{p}S\cos(2\pi f_{s}t)$

$\displaystyle\theta(t)=2\pi f_{p}t+\frac{\Delta f_{p}}{f_{s}}S\sin(2\pi f_{s}t)$
avec le taux de modulation m qui vaut :
$\displaystyle m=\frac{\Delta f_{p}}{f_{s}}$