Modulation numérique

Définition

Ici on définit la modulation numérique comme étant une modulation analogique avec un signal modulant numérique et composé d'une suite de symboles, eux mêmes composés d'une ou plusieurs valeurs binaires.

Signal numérique

La transformée de Fourier de la porte de largeur T et décalée de t₀ s'écrit :

\displaystyle f(t)=\sqcap\left(\frac{t-t_{0}}{T}\right)\Rightarrow F(f)=T\frac% {\sin(\pi Tf)}{\pi Tf}e^{-2j\pi ft_{0}}

qui devient pour une porte de 0 à T (t₀=T/2) :

\displaystyle f(t)=\sqcap\left(\frac{t-\frac{T}{2}}{T}\right)\Rightarrow F(f)=% T\frac{\sin(\pi Tf)}{\pi Tf}e^{-2j\pi f\frac{T}{2}}

le module de la transformée de Fourier (spectre fréquentiel) ne dépend pas du retard comme le montre la figure ci-contre. La transformée de Fourier de la somme des signaux est la somme des transformées de chaque signal, ensuite on prend le module de la somme obtenue, qui est différent de la somme des modules.

Plus généralement le signal binaire,exprimé sur N bits, s'écrit :

\displaystyle s(t)=\sum_{k=0}^{N-1}{b_{k}\sqcap\left(\frac{t-(1+2k)\frac{T_{b}% }{2}}{T_{b}}\right)}

avec T_b qui est l'intervalle de temps entre deux valeurs binaires successives et b_k ∈ {0,1}.

On définit le débit binaire en bits/s avec la relation

\displaystyle D=\frac{1}{T_{b}}

Voir le calcul du spectre du signal binaire

En appliquant les propriétés de la transformée de Fourier, on peut écrire :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}S(f)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{b_{k}T_{b}\frac{\sin(% \pi T_{b}f)}{\pi T_{b}f}e^{-2j\pi f\frac{(1+2k)T_{b}}{2}}}\\ &=&T_{b}\frac{\sin(\pi T_{b}f)}{\pi T_{b}f}\sum_{k=0}^{N-1}{b_{k}e^{-2j\pi f% \frac{(1+2k)T_{b}}{2}}}\\ &=&T_{b}\frac{\sin(\pi T_{b}f)}{\pi T_{b}f}\sum_{k=0}^{N-1}{\left[b_{k}\cos% \left(\pi f(1+2k)T_{b}\right)-jb_{k}\sin\left(\pi f(1+2k)T_{b}\right)\right]}% \end{array}\par\par

Le module vaut :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}||S(f)||&=&\left|T_{b}\frac{\sin(\pi fT_{b})}% {\pi fT_{b}}\right|\sqrt{\left[\sum_{k=0}^{N-1}{b_{k}\cos(\pi f(1+2k)T_{b})}% \right]^{2}+\left[\sum_{k=0}^{N-1}{b_{k}\sin(\pi f(1+2k)T_{b})}\right]^{2}}\\ \par\end{array}\par\par

Exemple :

Le message Hello est codé en binaire en utilisant les codes ASCII, soit les codes hexadécimaux : 0x48 , 0x65 , 0x6C , 0x6C , 0x6F codés en binaire avec une période T_b=0.5s qui donne un débit binaire de 2bits/s.

Le premier signal correspond au codage binaire avec b_k ∈ {0,1}, le signal NRZ est un signal binaire avec b_k ∈ {-1,1} avec la valeur -1 qui correspond à 0.

Le spectre du signal NRZ correspond au spectre de la suite binaire avec une composante continue minimisée, qui réduit la consommation d'énergie.

Modulation d'amplitude

Modulation ASK

La modulation ASK (Amplitude Shift Keying) est une modulation d'amplitude avec porteuse où le signal modulant est un signal binaire.

Le signal binaire représente le code ASCII du texte "Hello" avec une période T_b=0.025s, la fréquence de la porteuse est f_p=100Hz et le taux de modulation est m=0.5.

La modulation est une modulation d'amplitude avec porteuse :

\displaystyle r(t)=\left(1+ms(t)\right)A\cos(2\pi f_{p}t)

de spectre défini par

\displaystyle R(f)=\frac{A}{2}\left[\delta(f-f_{p})+\delta(f+f_{p})\right]+m% \frac{A}{2}\left[S(f-f_{p})+S(f+f_{p})\right]

Modulation OOK

La modulation OOK (OnOff Keying) est une modulation d'amplitude sans porteuse où la valeur 0 correspond à une absence de signal.

Le signal binaire représente le code ASCII du texte "Hello" avec une période T_b=0.025s, la fréquence de la porteuse est de 100Hz.

La modulation est une modulation d'amplitude sans porteuse :

\displaystyle r(t)=\left(s(t)\right)A\cos(2\pi f_{p}t)

de spectre défini par

\displaystyle R(f)=\frac{A}{2}\left[S(f-f_{p})+S(f+f_{p})\right]

Modulation angulaire

Modulation FSK

La modulation FSK (Frequency Shift Keying) est une modulation de fréquence où le signal modulant est un signal binaire qui donne une fréquence pour l'état 0 et une autre fréquence pour l'état 1.

Le signal binaire représente le code ASCII du texte "Hello" avec une période T_b=0.025s, la fréquence de la porteuse est f_p=100Hz.

La valeur 0 correspond à la fréquence centrale f_p et la valeur 1 correspond à une fréquence centrale supérieure. Un signal binaire NRZ donnerait une fréquence centrale supérieure pour un 1 et une fréquence centrale inférieure pour une valeur -1.

Modulations PSK

La modulation PSK (Phase Shift Keying) est une modulation de phase où le signal modulant est un signal binaire qui donne une phase pour l'état 0 et une phase pour l'état 1.

Modulation BPSK

La modulation BPSK (Binary Phase Shift Keying) utilise une phase 0 pour une valeur binaire 0 et π pour une valeur binaire 1.

Le signal binaire représente le code ASCII du texte "Hello" avec une période T_b=0.025s, la fréquence de la porteuse est f_p=100Hz.

La modulation peut se faire de plusieurs façon, soit en utilisant une modulation de phase analogique avec le signal binaire, soit en utilisant une modulation d'amplitude sans porteuse avec un signal modulant NRZ car la phase de π est une inversion du signe de la porteuse.

Modulation M-PSK

Définitions

La modulation M-PSK n'utilise plus le signal binaire directement, mais des symboles qui correspondent à un groupement de valeurs binaires où chaque symbole représente une phase. Dans ce cas M représente le nombre de symboles sur n bits, il s'agit de modulation M-aires avec M=2ⁿ. En plus du temps T_b et du débit binaire $\displaystyle D=\frac{1}{T_{b}}$ , on définit la rapidité de modulation en bauds $\displaystyle D=\frac{1}{T_{b}}$ , avec T_s qui est l'intervalle de temps entre deux symboles.

La relation entre débit binaire et rapidité de modulation s'écrit :

\displaystyle R=\frac{D}{n}=\frac{D}{\log_{2}(M)}

si n=1, on a T_b=T_s et R=D

Modulation en quadrature

Le signal modulé est défini par :

\displaystyle{}\begin{array}[]{rcl}r(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{\cos(2\pi f_{p}t+% \Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ &=&\cos(2\pi f_{p}t)\sum_{k=0}^{N-1}{\cos(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}-\sin(2\pi f_{% p}t)\sum_{k=0}^{N-1}{\sin(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ &=&i(t)\cos(2\pi f_{p}t)-q(t)\sin(2\pi f_{p}t)\\ \end{array}

avec

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}i(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{\cos(\Phi_{k})% \sqcap(t-kT)}\\ q(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{\sin(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ \end{array}\right.

où i(t) est le signal in-phase et q(t) le signal en quadrature de phase.

La représentation des symboles dans le plan Q=f(I) s'appelle le diagramme de constellation. Dans cette représentation la répartition des valeurs binaires utilise le code binaire réfléchi ou gray afin de limiter l'erreur entre deux voisins à 1 bit en cas de confusion lors de la démodulation.

Modulation 4-PSK ou QPSK

La modulation 4-PSK ou QPSK (Quadratique Phase Shift Keying) utilise des symboles définis sur 2 bits. Exemples de constellations :

Figure 1a

Constellation $k \frac{π}{2}$ avec k ∈ {0,1,2,3}
i(t) et q(t) signaux M-NRZ à 3 niveaux : {0,-1,1}

Figure 1b

Constellation $k \frac{π}{4}$ avec k ∈ {1,3,5,7}
i(t) et q(t) signaux NRZ à 3 niveaux : {-1,1}

Sur les deux figures, on observe l'utilisation du binaire réfléchi qui fait que le plus proche voisin ne change que d'un seul bit.

Le signal binaire représente le code ASCII du texte "Hello" avec une période T_b=0.025s, la fréquence de la porteuse est f_p=100Hz.

Les signaux i(t), q(t) et r(t) sont retardés de T_b car il faut mémoriser le premier bit afin de composer le symbole avec le deuxième bit.

La constellation utilisée est celle de la figure 1b donnant des signaux i(t) et q(t) du NRZ.

Le graphe constellation montre les parcours de la constellation, on remarque que dans le cas du message "Hello", il n'y a pas de transition entre les symboles "11" et "01".

On observe également qu'il y a des transitions entre les symboles "00" et "11" d'une part et entre "01" et "10" d'autre part ce qui correspond à un saut de phase de π.

Avec un débit binaire de 40 bits/s, on a une rapidité de modulation de 20 bauds, on transmet 2 fois plus de bits pour une même largeur de bande de fréquence.

Modulation OQPSK

Elle supprime les sauts de phase de π en prenant une nouvelle valeur q2(t) = q(t − Tb).

La modulation est réalisée à partir des signaux i(t) et q2(t) (en vert sur le graphe).

Avec le même message, on constate que les transitions dans la constellation ne se font qu'avec le symbole le plus proche, il n'y a jamais deux bits qui changent, ce qui supprime bien les sauts de phase de π.

On a toujours un débit binaire de 40 bits/s et une rapidité de modulation de 40 bauds car le signal q(t) est décalé de T_b ce qui fait une modulation par bit.

Les autres modulations PSK

8-PSK : M=8 , n=3
$\frac{π}{4}$ QPSK : saut de phase maximum $3 \frac{π}{4}$
$3 \frac{π}{8}$ 8-PSK : saut de phase maximum $7 \frac{π}{8}$
DQPSK (Differential Quadrature Phase Shift Keying) : le symbole représente le saut de phase par rapport au précédent et non la valeur de la phase
$\frac{π}{4}$ DQPSK : identique mais avec décalage de $\frac{π}{4}$

Modulation MSK

La modulation MSK (Minimum Shift Keying) est proche de la modulation OQPSK en encodant les états avec une sinusoïde.

Les signaux bi(t), i(t), bq(t), q(t) et r(t) sont retardés de T_b car il faut mémoriser le premier bit afin de composer le symbole avec le deuxième bit.

Le signal modulé s'exprime avec la relation

\displaystyle r(t)=bi(t)\cos\left(\pi\frac{t}{2Tb}\right)\cos(2\pi f_{p}t)+bq(% t)\sin\left(\pi\frac{t}{2Tb}\right)\cos(2\pi f_{p}t)

Le signal bi(t) qui correspond aux bits pairs du signal binaire commute à (2k+1)T_b et le signal bq(t) qui correspond aux bits impairs du signal binaire commute à 2kT_b, ceci sans prendre en compte le retard de T_b.

La période des signaux est 2T_b, mais il y a un décalage de T_b pour q(t), ce qui fait que le débit binaire qui est de 40 bits/s donne une rapidité de modulation de 40 bauds.

Modulation d'amplitude et de phase

Définitions

La modulation M-QAM (M-aires Quadrature Amplitude Modulation) est une modulation qui combine modulation d'amplitude et de phase en utilisant, comme la modulation M-PSK des symboles de n bits. Il s'agit, également d'une modulation M-aires, les valeurs de M peuvent être 16, 64, 256,1024, ...

La modulation d'amplitude a_k et de phase Φ_k est défini par :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}r(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}\cos(2\pi f_{p}t% +\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ &=&\cos(2\pi f_{p}t)\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}\cos(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}-\sin(2% \pi f_{p}t)\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}\sin(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ &=&i(t)\cos(2\pi f_{p}t)-q(t)\sin(2\pi f_{p}t)\end{array}

avec

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}i(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}\cos(\Phi% _{k})\sqcap(t-kT)}\\ q(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}\sin(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\end{array}\right.

Modulation 16-QAM

i(t) et q(t) sont des signaux M-NRZ à 4 états : ±1 et ±3

On remarque que la répartition des valeurs respectent le codage binaire réfléchi.

Le signal binaire correspond toujours au message "hello". Les signaux i(t), q(t) et r(t) sont décales de 3T_b afin de mémoriser les 3 premiers bits su signal binaire. Ici on a T_b=0.025s ce qui fait un débit binaire D=40 bits/s et une rapidité de modulation R=10 bauds avec des symboles exprimés sur 4 bits.

Démodulation QAM et PSK

La modulation PSK est un cas particulier de la modulation QAM avec des amplitudes constantes. Le démodulateur est donc le même pour ces deux modulations.

Le signal est :

\displaystyle r(t)=\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}\cos(2\pi f_{p}t+\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}

ce qui donne les signaux :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}S_{i}(t)&=&\cos(2\pi f_{p}t)\sum_{k=0}% ^{N-1}{a_{k}\cos(2\pi f_{p}t+\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ &=&\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{a_{k}}{2}\left[\cos(4\pi f_{p}t+\Phi_{k})+\cos(\Phi_% {k})\right]\sqcap(t-kT)}\\ S_{q}(t)&=&-\sin(2\pi f_{p}t)\sum_{k=0}^{N-1}{a_{k}\cos(2\pi f_{p}t+\Phi_{k})% \sqcap(t-kT)}\\ &=&\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{a_{k}}{2}\left[\cos(4\pi f_{p}t+\Phi_{k})+\sin(\Phi_% {k})\right]\sqcap(t-kT)}\\ \end{array}\right.

puis après filtrage :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}I(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{a_{k}}{2% }\cos(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ Q(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{\frac{a_{k}}{2}\sin(\Phi_{k})\sqcap(t-kT)}\\ \end{array}\right.

Exemple de démodulation d'un signal PSK

Le signal est la modulation PSK du message "Hello" avec une porteuse de fréquence f_p de 100Hz et un T_b=0.025s.

On utilise des filtres passe-bas de Butterworth d'ordre 2 et de fréquence de coupure f_c=20Hz (Cette valeur dépend de la rapidité de modulation).

Le signal obtenu représente la suite binaire :

01001000 01100101 01101100 01101100 01101111

Ce qui donne en hexadécimal : 0x48 0x65 0x6C 0x6c 0x6F, qui correspond bien aux codes ascii du message "Hello".

Modulation à porteuses orthogonales

Modulation multi-porteuses

Il s'agit de multiplexage fréquentiel, c'est à dire que les symboles, après avoir été convertis en parallèle, sont répartis sur plusieurs fréquences différentes.
Cette répartition sur plusieurs fréquences est adaptée aux trajets multiples.

La modulation multi-porteuses se compose de plusieurs blocs :
Le codage 2pQAM qui fournit des couples (ak, Φk) sous la forme de nombres complexes :
					
      b  ⁢    i  k      ⇒    C  k    =      a  k    ⁢    e    j  ⁢    Φ  k            
					

					avec une durée de symbole qui vaut : Tq=pTb où Tb est la durée du bit dans le signal binaire
Ces symboles sont regroupés en parallèles de N valeurs qui donne Ts=NTq, Ts est la durée qui sépare deux séquences de N valeurs.
Chaque symbole est multiplié par une porteuse, le signal final r(t) est l'addition de tous ces signaux modulés.
					
      r  ⁢    (  t  )      =        ∑    k  =  0      N  -  1            c  k    ⁢    e    2  ⁢  j  ⁢  π  ⁢    f  k    ⁢  t           					
					
La démodulation consiste à multiplier le signal reçu (r(t)) par chacune des porteuses puis de filtrer le résultat afin de retrouver les symboles.
Modulateur
Démodulateur

Le signal est toujours le message "Hello" avec une durée de bit T_b=0.025s. On utilise un codage 4-PSK et 4 porteuses de fréquences : 80Hz, 100Hz, 120Hz et 140Hz. ce qui donne un temps T_q=0.05s et un temps T_s=0.2s. Ceci donne une rapidité de modulation de R=5 bauds.

Le signal C(t) est une représentation "analogique" des groupes de 2 bits de la modulation PSK, dans le cas présent il remplace les représentations des signaux i(t) et q(t).

Les signaux C₀(t) à C₃(t) représente les multiples signés k de π/4 dans la constellation PSK. La répartition est la suivante :

C₀(t) représente les bits 0,1,8,9,...
C₁(t) représente les bits 2,3,10,11,...
C₂(t) représente les bits 4,5,12,13...
C₃(t) représente les bits 6,7,14,15...

Ce qui fait que le signal C₀(t) représente les 2 bits de poids fort des codes ascii du message qui sont toujours 0 et 1. Ceci explique le fait que ce signal soit toujours égal à la même valeur k=3 qui correspond bien aux bits 0 et 1 dans la constellation PSK.

Sur le spectre, on peut voir les fréquences des 4 porteuses, ce qui influence la largeur du spectre du signal modulé.

Modulation OFDM

La modulation OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) est une modulation multi-porteuses dans laquelle les fréquences sont orthogonales, c'est à dire que l'intervalle entre deux fréquence est de $\frac{1}{T_{s}}$ , ceci permet d'établir la relation pour l'ensemble des fréquences utilisées :

\displaystyle f_{k+1}=f_{k}+\frac{1}{T_{s}}

La seule différence réside dans le spectre du signal modulé, qui est plus réduit. ce qui fait de cette méthode reste la plus efficace en utilisation de la bande passante, elle permet de fait la transmission à haut débit de données binaires.

Le signal modulé peut s'écrit alors :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}r(t)&=&\sum_{k=0}^{N-1}{C_{k}e^{2j\pi f_{k}t}% }\\ &=&\sum_{k=0}^{N-1}{C_{k}e^{2j\pi\left(f_{0}+\frac{k}{T_{s}}\right)t}}\\ &=&e^{2j\pi f_{0}t}\sum_{k=0}^{N-1}{C_{k}e^{2j\pi\frac{k}{T_{s}}t}}\\ \end{array}

Si on prend T_s=T_e qui est la période d'échantillonnage dans l'utilisation d'une transformée de Fourier discrète, la modulation multi-porteuses se traduit par une transformée de Fourier discrète inverse et la démodulation par une transformée de Fourier discrète. Ce qui permet de construire facilement les modulateurs et démodulateurs.

Modulateur OFDM

Démodulateur OFDM

On arrive finalement à la chaîne de transmission OFDM complète :

Pour l'émission, les parties réelles et imaginaires en sortie du modulateur OFDM sont utilisées en entrées d'un modulateur en quadrature. La sortie de ce modulateur est amplifiée pour, ensuite, être transmise au récepteur via le canal de transmission modélisé par la fonction de transfert h(t)..

En réception, le signal est démodulé pour extraire les parties réelles et imaginaires qui sont transmises au démodulateur OFDM, en sortie de ce dernier on retrouve le signal binaire fourni à l'émetteur.

De par ses performances, cette modulation est utilisée dans toutes les transmissions haut débit :

La radiodiffusion pour la télévision numérique terrestre (TNT) avec les normes DVBT et DVBT2.
Le réseau sans fil WIfi avec, par exemple la norme 802.11g
Les réseaux mobiles avec la modulation OFDMA dans les réseaux 4G et 5G

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