Le câble

Modèle et équations

Câble coaxial

Caractéristiques

Le câble coaxial est composé d'un conducteur central (l'âme) et d'un conducteur périphérique le blindage, séparés par un isolant de permittivité relative ε=ε₀ε_r et de perméabilité magnétique μ=μ₀μ_r avec μ_r=1 (L'isolant n'est pas magnétique). Les conducteurs ont également une résistance R et l'isolant une conductance G. On a plus d'informations sur les caractéristiques des conducteurs et isolants au chapitre sur les composants passifs. Dans un conducteur les valeurs de résistance, conductance, inductance et capacité sont défini par unité de longueur qui est le mètre.

Constantes linéiques : $\displaystyle L=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\ln\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)H/m$ et $\displaystyle C=\frac{2{\pi}{\epsilon}_{0}{\epsilon}_{r}}{\ln\left(\frac{r_{2}% }{r_{1}}\right)}F/m$
La résistance électrique se calcule en tenant compte de l'effet de peau avec la section :
$\displaystyle S={\pi}r^{2}-{\pi}(r-e)^{2}={\pi}(r^{2}-r^{2}+2re-e^{2})\approx{% \pi}d{e}$
avec d qui est le diamètre du conducteur et e l'épaisseur due à l'effet de peau.
Résistance linéique :
$\displaystyle R=\left(\frac{1}{d_{1}e\sigma_{1}}+\frac{1}{d_{2}e\sigma_{2}}\right)$
qui vaut, en remplaçant e par sa valeur $\displaystyle e=\frac{1}{\sqrt{{\pi}{\sigma}_{c}{\mu}f}}$
$\displaystyle R={\sqrt{\frac{\mu_{0}f}{\pi}}}\left(\frac{1}{d_{1}\sqrt{\sigma_% {1}}}+\frac{1}{d_{2}\sqrt{\sigma_{2}}}\right){\Omega}/m$
avec σ_c qui est la conductivité du conducteur
Conductance linéique de l'isolant avec σ_d conductivité de l'isolant:
$\displaystyle G=\frac{2\pi\sigma_{d}}{\ln\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)}S/m$

Ces paramètres permettent de définir l'atténuation du signal dans le câble ainsi que la puissance maximale admissible avant claquage de l'isolant.

Atténuation dans le câble
$\displaystyle{\alpha}_{c}\approx 45.10^{-6}\sqrt{\epsilon_{r}f}\left(\frac{1}{% d_{1}\sqrt{\sigma_{1}}}+\frac{1}{d_{2}\sqrt{\sigma_{2}}}\right)\frac{1}{\ln% \frac{d_{2}}{d_{1}}}dB/m$
L'atténuation minimale, en fonction des rayons du conducteur se situe pour d₂/d₁≈3.6.
Puissance maximale admissible
$\displaystyle P_{max}=\sqrt{\frac{\epsilon_{r}}{120}}E_{0}^{2}r_{1}^{2}\ln% \frac{r_{2}}{r_{1}}$
avec E₀ qui est la rigidité diélectrique de l'isolant. La puissance maximale admissible, en fonction des rayons du conducteur se situe pour d₂/d₁≈1.65.

Vitesse de propagation

La vitesse de propagation d'une onde dans un milieu idéal est définie avec la relation :

\displaystyle v_{p}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}% \epsilon_{r}\mu_{0}\mu_{r}}}

En prenant la valeur de la vitesse de la lumière :

\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}

, on a

\displaystyle v_{p}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}\sqrt{\epsilon_{r}}}=% \frac{c}{\sqrt{\epsilon_{r}}}

Cas des lignes sans pertes

On définit une ligne sans pertes, ou plutôt à faible pertes, lorsque Lω>>R et Cω>>G aux fréquences d'utilisation du câble.

On définit l'impédance caractéristique avec la relation :

\displaystyle Z_{C}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}\epsilon_{r% }}}\ln\left({\frac{r_{2}}{r_{1}}}\right)=\frac{60}{\sqrt{\epsilon_{r}}}\ln% \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)

Exemple de câbles coaxiaux

On prend deux exemples de câbles 75Ω utilisés pour la télévision, l'isolant est du polyéthylène de valeur ε_r=2.25

d1 (mm)	d2 (mm)	Zc (Ω)	α_c (dB/m)	v_p (m/s)
0.5	3.1	73	0.32	2.10⁸
1	6.5	75	0.16	2.10⁸

Schéma équivalent

Cas général

D'après les caractéristiques du câble, on peut donc définir un schéma équivalent par unité de longueur. En utilisant les relations des courants et tensions sur les circuits alternatifs et les circuits continus avec la transformée de Laplace, on peut écrire les équations par unité de longueur.

Rdx et Ldx : résistance et inductance de la longueur dx
Gdx et Cdx : conductance et capacité de la longueur dx
Différence de potentiel sur la longueur dx : $\displaystyle\frac{\delta V}{\delta x}dx$
Différence de courant sur la longueur dx : $\displaystyle\frac{\delta I}{\delta x}dx$

On peut écrire le système d'équations :

\displaystyle\begin{array}[]{lll}V(x+dx,p)-V(x,p)&=&\frac{\delta V}{\delta x}% dx\\ &=&-(Rdx+Lpdx)I(x,p)\\ I(x+dx,p)-I(x,p)&=&\frac{\delta I}{\delta x}dx\\ &=&-(Gdx+Cpdx)V(x,p)\\ \end{array}

Ce système donne un système d'équations, appelé équations des télégraphistes

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{\delta V}{\delta x}dx&=&-(Rdx+Lpdx)I(x,% p)\\ \frac{\delta I}{\delta x}dx&=&-(Gdx+Cpdx)V(x,p)\end{array}

On peut résoudre ce système afin d'exprimer V(x,p) etI(x,p)

On commence par dériver la première équation et on la reporte dans la seconde :

\displaystyle\frac{\delta^{2}V}{\delta x^{2}}=-(R+Lp)\frac{\delta I}{\delta x}

\displaystyle-\frac{1}{R+Lp}\frac{\delta^{2}V}{\delta x^{2}}=-(G+Cp)V(x,p)

qui donne

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{\delta^{2}V}{\delta x^{2}}&=&(R+Lp)(G+% Cp)V(x,p)\\ &=&\gamma^{2}V(x,p)\\ \end{array}

avec

\displaystyle\gamma=\sqrt{(R+Lp)(G+Cp)}

qui est la constante de propagation

La solution est de la forme

\displaystyle V(x,p)=V_{1}(p)e^{-\gamma x}+V_{2}(p)e^{\gamma x}

et comprend deux signaux

une onde incidente : $\displaystyle V_{1}(p)e^{-\gamma x}$
une onde réfléchie : $\displaystyle V_{2}(p)e^{\gamma x}$

Il ne reste plus qu'à exprimer I(x,p) en partant des équations

\displaystyle I(x,p)=-\frac{1}{(R+Lp)}\frac{\delta V}{\delta x}

\displaystyle V(x,p)=V_{1}(p)e^{-\gamma x}+V_{2}(p)e^{\gamma x}

on obtient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}I(x,p)&=&\frac{-1}{R+Lp}\left(-\gamma V_{1}(p% )e^{-\gamma x}+\gamma V_{2}(p)e^{\gamma x}\right)\\ &=&\sqrt{\frac{G+Cp}{R+Lp}}\left(V_{1}(p)e^{-\gamma x}-V_{2}(p)e^{\gamma x}% \right)\\ &=&\frac{1}{Z_{c}}\left(V_{1}(p)e^{-\gamma x}-V_{2}(p)e^{\gamma x}\right)\end{array}

avec

\displaystyle Z_{c}=\sqrt{\frac{R+Lp}{G+Cp}}

qui est l'impédance caractéristique du câble.

Cas des lignes sans pertes

Le système se simplifie avec R=G=0 qui donne $\displaystyle Z_{c}=\sqrt{\frac{L}{C}}=R_{c}$ et $\displaystyle\gamma=\sqrt{LC}p$ , l'impédance caractéristique est purement résistive.

Les équations deviennent

\displaystyle{}\left\{\begin{array}[]{rcl}\frac{\delta V}{\delta x}&=&-LpI(x,p% )\\ \frac{\delta I}{\delta x}&=&-CpV(x,p)\end{array}\right.

qui donne l'équation différentielle

\displaystyle\frac{{\delta}^{2}V}{{\delta}x^{2}}=LCp^{2}V(x,p)

qui admet pour solution

\displaystyle V(x,p)=V_{1}(p)e^{-{\sqrt{LC}px}}+V_{2}(p)e^{\sqrt{LC}px}

En posant

\displaystyle v_{p}=\frac{1}{\sqrt{LC}}

,on obtient

\displaystyle v(x,t)=v_{1}\big{(}t-\frac{x}{v_{p}}\big{)}+v_{2}\big{(}t+\frac{% x}{v_{p}}\big{)}

avec :

v₁ qui est l'onde incidente
v₂ qui est l'onde réfléchie

Câble entre source et charge

On écrit les équations du circuit :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}E(p)&=&V(0,p)+Z_{g}I(0,p)\\ V(x_{0},p)&=&Z_{r}I(x_{0},p)\end{array}\right.

et définit les coefficients de réflexion aux extrémités

\displaystyle{}\left\{\begin{array}[]{rcl}\Gamma_{g}&=&\frac{Z_{g}-Z_{c}}{Z_{g% }+Z_{c}}\\ \Gamma_{r}&=&\frac{Z_{r}-Z_{c}}{Z_{r}+Z_{c}}\end{array}\right.

On calcule les constantes V₁(p) et V₂(p) en utilisant les équations du montage aux extrémités :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}E(p)&=&V(0,p)+Z_{g}I(0,p)\\ V(x_{0},p)&=&Z_{r}I(x_{0},p)\end{array}\right.

on rappelle les équations du câble

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}V(x,p)&=&V_{1}(p)e^{-\gamma x}+V_{2}(p% )e^{\gamma x}\\ I(x,p)&=&\frac{1}{Z_{c}}\left(V_{1}(p)e^{-\gamma x}-V_{2}(p)e^{\gamma x}\right% )\end{array}\right.

On écrit les équations en x=0 et x=x₀ :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}V(0,p)&=&V_{1}(p)+V_{2}(p)=E(p)-Z_{g}I% (0,p)\\ I(0,p)&=&\frac{1}{Z_{c}}\left(V_{1}(p)-V_{2}(p)\right)\\ V(x_{0},p)&=&V_{1}(p)e^{-\gamma x_{0}}+V_{2}(p)e^{\gamma x_{0}}=Z_{r}I(x_{0},p% )\\ I(x_{0},p)&=&\frac{1}{Z_{c}}\left(V_{1}(p)e^{-\gamma x_{0}}-V_{2}(p)e^{\gamma x% _{0}}\right)\end{array}\right.

qui donne le système :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}V_{1}(p)+V_{2}(p)&=&E(p)-\frac{Z_{g}}{% Z_{c}}\left(V_{1}(p)-V_{2}(p)\right)\\ V_{1}(p)e^{-\gamma x_{0}}+V_{2}(p)e^{\gamma x_{0}}&=&Z_{r}\frac{1}{Z_{c}}\left% (V_{1}(p)e^{-\gamma x_{0}}-V_{2}(p)e^{\gamma x_{0}}\right)\end{array}\right.

En regroupant les termes, on obtient :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}\left(\frac{Z_{g}+Z_{c}}{Z_{c}}\right)% V_{1}(p)-\left(\frac{Z_{g}-Z_{c}}{Z_{c}}\right)V_{2}(p)&=&E(p)\\ -\left(\frac{Z_{r}-Z_{c}}{Z_{c}}\right)V_{1}(p)e^{-\gamma x_{0}}+\left(\frac{Z% _{r}+Z_{c}}{Z_{c}}\right)V_{2}(p)e^{\gamma x_{0}}&=&0\end{array}\right.

et en posant

\displaystyle 1-\Gamma_{g}=\frac{2Z_{c}}{Z_{g}+Z_{c}}

\displaystyle\frac{1}{\Gamma_{g}}-1=\frac{2Z_{c}}{Z_{g}-Z_{c}}

il devient

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}\left(\frac{2}{1-\Gamma_{g}}\right)V_{% 1}(p)-\left(\frac{2\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}}\right)V_{2}(p)&=&E(p)\\ -\left(\frac{2\Gamma_{r}e^{-\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}\right)V_{1}(p)+\left(% \frac{2e^{\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}\right)V_{2}(p)&=&0\end{array}\right.

On résout ce système avec la méthode de Cramer :

\displaystyle V_{1}(p)=\frac{\begin{vmatrix}E(p)&-\frac{2\Gamma_{g}}{1-\Gamma_% {g}}\\ 0&\frac{2e^{\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{2}% {1-\Gamma_{g}}&-\frac{2\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}}\\ -\frac{2\Gamma_{r}e^{-\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}&\frac{2e^{\gamma x_{0}}}{1-% \Gamma_{r}}\end{vmatrix}}=\frac{\frac{2E(p)e^{\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}}{% \frac{2}{1-\Gamma_{g}}\frac{2e^{\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}+\frac{2\Gamma_{g}% }{1-\Gamma_{g}}\frac{2\Gamma_{r}e^{-\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}}=\frac{E(p)(1% -\Gamma_{g})}{2-2\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-2\gamma x_{0}}}=\frac{E(p)}{2}\frac{1% -{\Gamma}_{g}}{1-{\Gamma}_{g}{\Gamma}_{r}e^{-2{\gamma}x_{0}}}

\displaystyle V_{2}(p)=\frac{\begin{vmatrix}\frac{2}{1-\Gamma_{g}}&E(p)\\ -\frac{2\Gamma_{r}e^{-\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}&0\end{vmatrix}}{\begin{% vmatrix}\frac{2}{1-\Gamma_{g}}&-\frac{2\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}}\\ -\frac{2\Gamma_{r}e^{-\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}&\frac{2e^{\gamma x_{0}}}{1-% \Gamma_{r}}\end{vmatrix}}=\frac{\frac{2E(p)\Gamma_{r}e^{-\gamma x_{0}}}{1-% \Gamma_{r}}}{\frac{2}{1-\Gamma_{g}}\frac{2e^{\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{r}}+% \frac{2\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}}\frac{2\Gamma_{r}e^{-\gamma x_{0}}}{1-\Gamma_{% r}}}=\frac{E(p)(1-\Gamma_{g})\Gamma_{r}e^{-2\gamma x_{0}}}{2-2\Gamma_{g}\Gamma% _{r}e^{-2\gamma x_{0}}}=\frac{E(p)}{2}\frac{(1-\Gamma_{g})\Gamma_{r}}{1-\Gamma% _{g}\Gamma_{r}e^{-2\gamma x_{0}}}e^{-2\gamma x_{0}}

Ce qui donne les équations complètes du système

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}V(x,p)&=&\frac{E(p)}{2}\frac{1-\Gamma_% {g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-2\gamma x_{0}}}\left({e^{-\gamma x}+\Gamma_{r}e% ^{\gamma(x-2x_{0})}}\right)\\ I(x,p)&=&\frac{E(p)}{2Z_{c}}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-2% \gamma x_{0}}}\left({e^{-\gamma x}+\Gamma_{r}e^{\gamma(x-2x_{0})}}\right)\end{% array}\right.

Ligne en régime impulsionnel

On utilise une ligne sans pertes avec des impédances résistives : R_g et R_r

On pose la valeur $\displaystyle\tau=\frac{x_{0}}{v_{p}}$ . La durée de l'impulsion est très inférieure à τ, l'amplitude de l'impulsion est E.

Charge adaptée à la ligne

R_r=R_c , ce qui fait que Γ_r=0, Il n'y a pas d'onde réfléchie mais seulement une onde incidente d'amplitude $\displaystyle E_{0}=E\frac{1-\Gamma_{g}}{2}=E\frac{R_{c}}{R_{g}+R_{c}}$ (faire x=0 et Γ_r=0 dans l'équation du calcul de V(x,p))

Générateur adapté à la ligne

R_g=R_c, Γ_g=0 et Γ_r quelconque. L'onde est réfléchie une seule fois par la charge. Le signe de l'onde réfléchie dépend du signe de Γ_r. Le retour de l'onde réfléchie à la source se fait pour t=2τ.

L'onde réfléchie, mesurée à la source, vaut :

\displaystyle V(0,2\tau)=\Gamma_{r}E_{0}

Générateur et charge quelconques

R_g=R_c, Γ_g=0 et Γ_r quelconque. L'onde est réfléchie alternativement par la charge et la source. Le signe de l'onde réfléchie dépend des signes de Γ_r et Γ_g. Les ondes apparaissent à la source pour t=2kτ avec k ∈ 0,1,2,3,...

Le signal représenté correspond aux impulsions émises par la source après réflexion avec Γ_g.Γ_r>0.

Réponse indicielle

Etude des valeurs initiales et finales

On étudie le signal lorsque e(t) est un échelon d'amplitude E et de transformée $E (p) = \frac{1}{p}$

La valeur initiale v(0,0) (au sens temporel) s'exprime à partir de la relation :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}V(x,p)&=&\frac{E}{2p}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-% \Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-2\frac{x_{0}}{v_{p}}p}}\left({e^{-\frac{x}{v_{p}}p}+% \Gamma_{r}e^{\frac{(x-2x_{0})}{v_{p}}p}}\right)\\ V(0,p)&=&\frac{E}{2p}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-2\frac{x_{0% }}{v_{p}}p}}\left(1+\Gamma_{r}e^{-2\frac{x_{0}}{v_{p}}p}\right)\end{array}

la limite vaut

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}v(0,0)&=&\lim_{t\to 0}{v(0,t)}\\ &=&\lim_{p\to\infty}{pV(0,p)}\\ &=&\lim_{p\to\infty}{\frac{E}{2}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-% 2\frac{x_{0}}{v_{p}}p}}\left(1+\Gamma_{r}e^{-2\frac{x_{0}}{v_{p}}p}\right)}\\ &=&\frac{E}{2}(1-\Gamma_{g})=E\frac{R_{c}}{R_{g}+R_{c}}\\ \end{array}

Les valeurs finales v(0,∞) et v(x₀,∞)(au sens temporel) s'expriment avec :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}v(x,\infty)&=&\lim_{t\to\infty}{v(x,t)}\\ &=&\lim_{p\to 0}{pV(x,p)}\\ &=&\frac{E}{2}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}}\left({1+\Gamma_{r}}% \right)\end{array}

La limite infinie est indépendante de x et vaut

\displaystyle v(0,\infty)=v(x_{0},\infty)=\frac{E}{2}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-% \Gamma_{g}\Gamma_{r}}\left({1+\Gamma_{r}}\right)=E\frac{R_{r}}{R_{g}+R_{r}}

Charge adaptée à la ligne

R_r=R_c , ce qui fait que Γ_r=0, l'onde n'est pas réfléchie par la charge.

Les valeurs aux limites valent :

\displaystyle v(0,0)=v(0,\infty)=v(x_{0},\infty)=E\frac{1-\Gamma_{g}}{2}

Les signaux v(0,t) et v(x₀,t) se calculent à partir de V(x,p) pour Γ_r=0 :

\displaystyle V(x,p)=\frac{E}{2p}\big{(}{1-\Gamma_{g}}\big{)}e^{-\frac{x}{v_{p% }}p}

qui donne

\displaystyle v(x,t)=\frac{E}{2}(1-\Gamma_{g})u(t-\frac{x}{v_{p}})

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}v(0,t)&=&\frac{E}{2}(1-\Gamma_{g})u(t)=E_{0}u% (t)\\ v(x_{0},t)&=&\frac{E}{2}(1-\Gamma_{g})u(t-\frac{x_{0}}{v_{p}})=E_{0}u(t-\tau)% \end{array}

Générateur adapté à la ligne

R_g=R_c, Γ_g=0 et Γ_r quelconque. L'onde est réfléchie une seule fois par la charge.

Les valeurs aux limites valent :

\displaystyle\begin{array}[]{l}v(0,0)=\frac{E}{2}\\ v(0,\infty)=v(x_{0},\infty)=\frac{E}{2}(1+\Gamma_{r})\end{array}

Les signaux v(0,t) et v(x₀,t) se calculent à partir de V(x,p) pour Γ_r=0 :

\displaystyle V(x,p)=\frac{E}{2p}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{% -2\frac{x_{0}}{v_{p}}p}}\left({e^{-\frac{x}{v_{p}}p}+\Gamma_{r}e^{\frac{(x-2x_% {0})}{v_{p}}p}}\right)

qui donne

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}v(x,t)&=&\frac{E}{2}\left(u(t-\frac{x}{v_{p}}% )+\Gamma_{r}u(t-\frac{2x_{0}-x}{v_{p}})\right)\\ v(0,t)&=&\frac{E}{2}\left(u(t)+\Gamma_{r}u(t-\frac{2x_{0}}{v_{p}})\right)\\ &=&\frac{E}{2}\left(u(t)+\Gamma_{r}u(t-2\tau)\right)\\ v(x_{0},t)&=&\frac{E}{2}\left(u(t-\frac{x_{0}}{v_{p}})+\Gamma_{r}u(t-\frac{x_{% 0}}{v_{p}})\right)\\ &=&\frac{E}{2}\left(1+\Gamma_{r}\right)u(t-\tau)\end{array}

Générateur et charge quelconques

Equations et signaux

R_g=R_c, Γ_g=0 et Γ_r quelconque. L'onde est réfléchie alternativement par la charge et la source.

Les signaux v(0,t) et v(x₀,t) se calculent à partir de V(x,p) pour Γ_r=0 :

\displaystyle V(x,p)=\frac{E}{2p}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{% -2\frac{p}{v_{p}}x_{0}}}\left({e^{-\frac{p}{v_{p}}x}+\Gamma_{r}e^{\frac{p}{v_{% p}}(x-2x_{0})}}\right)

qui donne

\displaystyle v(x,t)=\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\displaystyle\left[% \sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{\frac{(x+2nx_{0})}{v% _{p}}}\right)}+\Gamma_{r}\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u% \left(t-{\frac{(-x+(2n+2)x_{0})}{v_{p}}}\right)}\right]

\displaystyle v(0,t)=\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\left[u(t)+(1+% \Gamma_{g})\Gamma_{r}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{r}^{n}\Gamma_{g}% ^{n}u(t-(2n+2)\tau)}\right]

\displaystyle v(x_{0},t)=\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\left(1+\Gamma_% {r}\right)\left[\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{r}^{n}\Gamma_{g}^{n}u% (t-(2n+1)\tau)}\right]

Le tracé est effectué pour Γ_g>0 , Γ_r<0 et n ∈ {0,1}

Voir la démonstration du calcul de v(x,t)

\displaystyle V(x,p)=\frac{E}{2p}\frac{1-\Gamma_{g}}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{% -2\frac{p}{v_{p}}x_{0}}}\left({e^{-\frac{p}{v_{p}}x}+\Gamma_{r}e^{\frac{p}{v_{% p}}(x-2x_{0})}}\right)

avec

\displaystyle\Re(p)>0\Rightarrow\left\|\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-2\frac{x_{0}}{v% _{p}}p}\right\|<1\Rightarrow\frac{1}{1-\Gamma_{g}\Gamma_{r}e^{-2\frac{x_{0}}{v% _{p}}p}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}e^{-2n% \frac{x_{0}}{v_{p}}p}}

on obtient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}V(x,p)&=&\frac{E}{2p}\left({1-\Gamma_{g}}% \right)\left({e^{-\frac{x}{v_{p}}p}+\Gamma_{r}e^{\frac{(x-2x_{0})}{v_{p}}p}}% \right)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}e^{-2n% \frac{x_{0}}{v_{p}}p}}\\ &=&\frac{E}{2p}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\displaystyle\left[\sum_{n=0}^{% \infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}e^{-\frac{(x+2nx_{0})}{v_{p}}p}}+\Gamma_{r% }\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}e^{-\frac{(-x+(2n+2)x_{0})}{v% _{p}}p}}\right]\end{array}

qui donne

\displaystyle v(x,t)=\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\displaystyle\left[% \sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{\frac{(x+2nx_{0})}{v% _{p}}}\right)}+\Gamma_{r}\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u% \left(t-{\frac{(-x+(2n+2)x_{0})}{v_{p}}}\right)}\right]

En x=0 :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}v(0,t)&=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}% \right)\displaystyle\left[\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u% \left(t-{\frac{2nx_{0}}{v_{p}}}\right)}+\Gamma_{r}\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{% g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{\frac{(2n+2)x_{0}}{v_{p}}}\right)}\right]\\ &=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\displaystyle\left[\sum_{n=0}^{\infty% }{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{2n\tau}\right)}+\Gamma_{r}\sum_{n=0}^{% \infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{(2n+2)\tau}\right)}\right]\\ &=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\displaystyle\left[u(t)+\sum_{n=1}^{% \infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{2n\tau}\right)}+\Gamma_{r}\sum_{% n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{(2n+2)\tau}\right)}\right]% \\ &=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\displaystyle\left[u(t)+\sum_{n=0}^{% \infty}{\Gamma_{g}^{n+1}\Gamma_{r}^{n+1}u\left(t-{2(n+1)\tau}\right)}+\Gamma_{% r}\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{(2n+2)\tau}\right)% }\right]\\ &=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\displaystyle\left[u(t)+\Gamma_{r}% \Gamma_{g}\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{(2n+2)\tau% }\right)}+\Gamma_{r}\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{% (2n+2)\tau}\right)}\right]\\ &=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\left[u(t)+(1+\Gamma_{g})\Gamma_{r}% \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{r}^{n}\Gamma_{g}^{n}u(t-(2n+2)\tau)}% \right]\end{array}

En x=x₀ :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}v(x_{0},t)&=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}% \right)\displaystyle\left[\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u% \left(t-{\frac{(2n+1)x_{0}}{v_{p}}}\right)}+\Gamma_{r}\sum_{n=0}^{\infty}{% \Gamma_{g}^{n}\Gamma_{r}^{n}u\left(t-{\frac{(2n+1)x_{0}}{v_{p}}}\right)}\right% ]\\ &=&\frac{E}{2}\left({1-\Gamma_{g}}\right)\left(1+\Gamma_{r}\right)\left[% \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\Gamma_{r}^{n}\Gamma_{g}^{n}u(t-(2n+1)\tau)}% \right]\end{array}

Utilisation de la méthode du tableau

t	Incrément de v(0,t)	transmet	incrément de v(x₀,t)
0	E₀
...		E₀ →
τ			E₀(1+Γ_r)
...		← Γ_rE₀
2τ	E₀(1+Γ_g)Γ_r
...		Γ_gΓ_rE₀ →
3τ			E₀(1+Γ_r)Γ_rΓ_g
...		← Γ_gΓ_r²E₀
6τ	E₀(1+Γ_g)Γ_r²Γ_r
...		Γ_g²Γ_r²E₀ →
5τ			E₀(1+Γ_r)Γ_r²Γ_g²

Utilisation de la méthode de Bergeron

La méthode de Bergeron est basée sur le fait que lorsqu'on se déplace à la vitesse de propagation le long de la ligne le rapport dV/dI vaut -Rc, et Rc pour un déplacement inverse.
Cette méthode utilise la représentation graphique des caractéristiques du générateur et de la charge, elle est donc adaptée aux caractéristiques non linéaires.

Sur le graphe de droite, on trace une droite de pente R_r et une droite de pente E-R_gx, l'intersection de ces deux droites donne la valeur de v(0,∞)=v(x₀,∞).

Pour obtenir le signal complet, on trace successivement des droites de pente R_c et -R_c. La première intersection donne la valeur de v(0,0), à partir de ce point on trace une droite de pente -R_c, l'intersection avec l'autre droite donne v(x₀,τ) et ainsi de suite jusqu'au point d'intersection.

Ligne en régime sinusoïdal

Equations

On choisit une origine sur la charge, ce qui modifie les équations originales :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}V(x,p)&=&V_{1}(p)e^{\gamma x}+V_{2}(p)% e^{-\gamma x}\\ I(x,p)&=&\frac{1}{Z_{c}}\left(V_{1}(p)e^{\gamma x}-V_{2}(p)e^{-\gamma x}\right% )\end{array}\right.

on a toujours

γ = \sqrt{L C} p

v_{p} = \frac{1}{\sqrt{L C}}

qui donne :

\displaystyle\gamma=\frac{p}{v_{p}}=\frac{j\omega}{v_{p}}=\frac{2j\pi f}{v_{p}% }=\frac{2j\pi}{\lambda}

Les éuations nous donnent l'impédance Z en fonction de la position sur la ligne :

\displaystyle Z(x)=Z_{c}\frac{V_{1}e^{j\frac{2\pi}{\lambda}x}+V_{2}e^{-j\frac{% 2\pi}{\lambda}x}}{V_{1}e^{j\frac{2\pi}{\lambda}x}-V_{2}e^{-j\frac{2\pi}{% \lambda}x}}

Charge d'impédance infinie

On a Γr=1 ce qui implique V1(p)=V2(p), on déduit l'expression de l'impédance :
				
          Z  ⁢    (  x  )          =          Z  c    ⁢            V  1    ⁢    e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x        +      V  1    ⁢    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x                  V  1    ⁢    e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x        -      V  1    ⁢    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x                            =          Z  c    ⁢          e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x      +    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x              e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x      -    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x                          =          Z  c    ⁢        cos  ⁡    (        2  ⁢  π    λ    ⁢  x    )        j  ⁢    sin  ⁡    (        2  ⁢  π    λ    ⁢  x    )                        =        -      Z  c    ⁢      j    tan  ⁡    (      2  ⁢  π  ⁢  x    λ    )                    
				
				qui donne le module
				
      ||    Z  ⁢    (  x  )      ||    =        Z  c      tan  ⁡    (      2  ⁢  π  ⁢  x    λ    )            					
				
Pour un câble de longueur (2k+1)λ4, cette charge infinie se comporte comme un court-circuit (circuit résonnant série) :
				
      ∥    Z  ⁢    (          (      2  ⁢  k    +  1    )    ⁢  λ    4      )      ∥    =        Z  c      tan  ⁡    (        (      2  ⁢  k    +  1    )    ⁢  π    2    )          =  0    				
				
Pour un câble de longueur kλ2, cette charge infinie se comporte comme un circuit ouvert (circuit résonnant parallèle):
				
      ∥    Z  ⁢    (        k  ⁢  λ    2      )      ∥    =        Z  c      tan  ⁡    (    k  ⁢  π    )          =  ∞

Charge d'impédance nulle

On a Γr=-1 ce qui implique V1(p)=-V2(p), on déduit l'expression de l'impédance :
				
          Z  ⁢    (  x  )          =          Z  c    ⁢            V  1    ⁢    e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x        -      V  1    ⁢    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x                  V  1    ⁢    e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x        +      V  1    ⁢    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x                            =          Z  c    ⁢          e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x      -    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x              e    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x      +    e    -    j  ⁢      2  ⁢  π    λ    ⁢  x                          =          Z  ⁢    (  x  )      =      Z  c    ⁢        j  ⁢    sin  ⁡    (        2  ⁢  π    λ    ⁢  x    )          cos  ⁡    (        2  ⁢  π    λ    ⁢  x    )                        =          Z  c    ⁢  j  ⁢    tan  ⁡    (        2  ⁢  π  ⁢  x    λ      )              
				
				qui donne le module
				
      ||    Z  ⁢    (  x  )      ||    =      Z  c    ⁢    tan  ⁡    (        2  ⁢  π  ⁢  x    λ      )          
				
Pour un câble de longueur (2k+1)λ4, ce court-circuit se comporte comme un circuit ouvert (circuit résonnant parallèle) :
				
      ∥    Z  ⁢    (          (      2  ⁢  k    +  1    )    ⁢  λ    4      )      ∥    =      Z  c    ⁢    tan  ⁡    (          (      2  ⁢  k    +  1    )    ⁢  π    2      )        =  ∞    		
				
Pour un câble de longueur kλ2, ce court-circuit se comporte comme un court-circuit  (circuit résonnant série):
				
      ∥    Z  ⁢    (        k  ⁢  λ    2      )      ∥    =      Z  c    ⁢    tan  ⁡    (    k  ⁢  π    )        =  0

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