Conversion analogique ⇄ numérique

Conversion analogique → numérique

Chaîne d'acquisition

La conversion analogique est la fonction réalisée par le dernier bloc de la chaîne d'acquisition analogique.
L'acquisition analogique permet de fournir la valeur numérique d'une grandeur analogique fournie par un capteur (température, pression, ...). Elle comprend les différents blocs fonctionnels :

Amplification :
Les variations des signaux des capteurs sont souvent très faibles (mV, µV), le rôle de l'amplification est de fournir une tension plus élevée exploitable par le convertisseur analogique-numérique.
Filtrage :
Le passage au numérique ou échantillonnage impose de traiter des signaux dans une bande de fréquence imposée. La fonction filtrage est réalisée par un filtre anti-repliement de spectre qui est un filtre passe-bande (voir la partie filtrage des circuits en alternatif).
Blocage :
Maintien de la tension constante pendant le temps de conversion, il forunit la tension e_B(t) à partir de la tension e(t). Mathématiquement, il s'agit d'un interpolateur d'ordre zéro appelé souvent "bloqueur d'ordre zéro" par abus de langage.
CAN :
Conversion analogique-numérique, qui fournit la suite des valeurs numériques nommés échantillons e(k) (sous-entendu e(kT_e)), avec T_e qui est la période d'échantillonnage. Le théorème de Shanon nous précise que la fréquence d'échantillonnage F_e≤2F_M avec F_M fréquence maximale du spectre du signal d'entrée.
T_c est le temps de conversion, c'est à dire le temps mis par le convertisseur pour transformer la grandeur continue en numérique. Ce temps doit être inférieur à la période d'échantillonnage.

Fonction de transfert et résolution

La valeur numérique en sortie d'un convertisseur utilise la représentation binaire des entiers signés et non signés.
Cette valeur est exprimée sur n bits qui donne une valeur entre 0 et 2ⁿ-1 pour des entiers non signés ou encore entre -2^n-1 et 2^n-1-1 pour des entiers signés.

La relation qui lie la valeur analogique à la valeur numérique obtenue est $\displaystyle N_{10}=\frac{2^{n}}{V_{ref}}V_{e}$ pour une valeur strictement positive.

Le pas de quantification ou pas de conversion ou résolution est défini par la valeur analogique correspondant au bit de poids faible : $\displaystyle V_{res}=\frac{V_{ref}}{2^{n}}$

La résolution s'améliore donc lorsque le nombre de bits du convertisseur augmente.

Convertisseur Flash

C'est un convertisseur rapide utilisé pour les conversion de signaux avec des fréquences élevées comme par exemple en vidéo.

L'inconvénient de ce convertisseur est qu'il faut 2^n-1 comparateurs pour un convertisseur sur n bits.

La tension V_e est comparée à différentes tensions de références. Chaque comparateur fournit une valeur en fonction du résultat de la comparaison. Une logique convertit les valeurs fournies par les comparateurs en une valeur binaire qui correspond à la tension V_e en respectant la relation de conversion.

V_e	e₂	e₁	e₀	a₁	a₀
V_e<0.25V_ref	0v	0v	0v	0	0
0.25V_ref≤V_e<0.5 V_ref	0v	0v	Vcc	0	1
0.5V_ref≤V_e<0.75 V_ref	0v	Vcc	Vcc	1	0
0.75V_ref≤V_e<V_ref	Vcc	Vcc	Vcc	1	1

Convertisseur à approximations successives

C'est la technologie la plus utilisée.

La tension Ve est comparée successivement à la tension de sortie d'un convertisseur numérique analogique. Le résultat de chaque comparaison donne les valeurs binaires du résultat en commençant par le bit de poids fort.

Au démarrage, la valeur numérique est située au milieu soit 1000000... (bit de poids fort à 1), convertie en analogique pour donner V_ref/2 et est comparée à Ve.
Le résultat de la comparaison fournit le bit de poids fort de la valeur numérique et permet également de positionner le bit suivant du CNA qui fournit la nouvelle tension de comparaison ... Ceci est répété jusqu’au dernier bit (poids faible)

Voir un exemple de conversion.

V_e=1,6v et V_ref=2.5v, conversion sur 4 bits. La résolution de ce convertisseur est 2.5/16=0.15625v

Démarrage : N=8, e_-=1.25v, la sortie du comparateur est positive, D₃=1
Maintenant on a N=8+4=12, e_-=1.875v, la sortie du comparateur est négative, D₂=0
Maintenant on a N=12-2=10, e_-=1.5625v, la sortie du comparateur est positive, D₁=1
Maintenant on a N=10+1=11, e_-=1.71875v, la sortie du comparateur est négative, D₀=0

La conversion de 1.6v sur 4 bits est 1010₂=10₁₀.

La valeur 10₁₀ correspond à une tension de 1.5625v, et la valeur 11₁₀ correspond à une tension de 1.71875v. la valeur de 1.6v est bien comprise entre ces deux valeurs.

Convertisseur à rampe

Ce type de convertisseur est moins utilisé, mais on le trouve encore quelques fois. Dans ce type de convertisseur la tension de référence (Vref) correspond à une droite croissante qui peut être l'intégrale d'une tension constante.
à t=0, Vref augmente linéairement. La sortie S du comparateur active le comptage
lorsque Vref≥Ve, la sortie S du comparateur change de valeur et arrête le comptage.
La valeur du compteur est proportionnelle à Ve
L'inconvénient de ce type de convertisseur est la résolution pour les faibles valeurs de ve.
On peut ajuster cette résolution ainsi que la gain de ce convertisseur en agissant sur la pente de la droite Vref

Conversion numérique → analogique

Chaîne de restitution

La conversion numérique-analogique est la première fonction de la chaîne de restitution.

On obtient un signal analogique à partir d'une grandeur numérique.

CNA : convertisseur numérique-analogique
il fournit une tension à partir d'une valeur numérique. Cette tension reste constante tant qu'une nouvelle valeur numérique n'est pas fournie en entrée. On peut dire que la fonction bloqueur fait partie du convertisseur. Comme pour la conversion analogique-numérique, le temps de conversion T_c doit être inférieur à la période d'échantillonnage T_re.
Filtrage :
il est de type passe-bas pour supprimer la fréquence d’échantillonnage, on peut dire qu'il lisse le signal fourni par le convertisseur.
Amplification :
cela peut-être une amplification de puissance dans le cas de restitution de son sur des haut-parleurs, ou encore pour la commande numérique d'actionneurs.

Convertisseur R-2R vers courant

C'est le principe le plus utilisé dans les circuits intégrés de conversion numérique-analogique. La tension analogique peut-être obtenue à l'aide d'un montage convertisseur courant-tension réalisé avec un montage AOP, avec ce type de montage la connexion est virtuellement à la masse, ce qui fait que les courants I_k ne sont pas modifiés avec la position des interrupteurs.

La relation de la fonction de transfert pour 4 bits est : $\displaystyle I_{s}=\frac{V_{ref}}{2R}\left(\frac{a_{3}}{2}+\frac{a_{2}}{4}+% \frac{a_{1}}{8}+\frac{a_{0}}{16}\right)$

Plus généralement pour n bits : $\displaystyle I_{s}=\frac{V_{ref}}{2R}\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{a_{k}}{2^{n-k}}}$

Voir le calcul de la fonction de transfert.

Le convertisseur courant-tension ne perturbe pas le fonctionnement du montage, il suffit donc de calculer les courants I_k, puis de calculer la somme des courants a_kI_k pour obtenir I_s.

Pour chaque courant, on peut écrire : $\displaystyle I_{k}=\frac{V_{k}}{2R}$

On peut exprimer la tension V₀ en fonction de V₁ en utilisant le pont diviseur de tension entre la résistance R et les deux résistances 2R en parallèle, on a donc : $\displaystyle V_{0}=\frac{V_{1}}{2}$ . On a la même relation avec V₁ et V₂ car on a toujours le même diviseur de tension. Plus généralement, on peut écrire : $\displaystyle V_{k-1}=\frac{V_{k}}{2}$ avec V₄=V_ref qui donne $\displaystyle V_{k}=\frac{V_{ref}}{2^{4-k}}\Rightarrow I_{k}=\frac{V_{ref}}{2R% }\frac{1}{2^{4-k}}$ , on obtient bien la relation : $\displaystyle I_{s}=\frac{V_{ref}}{2R}\sum_{k=0}^{3}{\frac{a_{k}}{2^{4-k}}}$ pour n=4 bits.

Convertisseur R-2R vers tension

Dans ce cas la tension V_ref alimente le réseau R-2R au travers des interrupteurs. Ce type de montage permet de fournir une tension analogique à partir d'un port parallèle de microprocesseur.

Pour l'exemple sur 4 bits, la fonction de transfert s'écrit : $\displaystyle V_{s}=V_{ref}\left(\frac{a_{3}}{2}+\frac{a_{2}}{4}+\frac{a_{1}}{% 8}+\frac{a_{0}}{16}\right)$

Plus généralement, sur n bits, la relation est : $\displaystyle V_{s}=V_{ref}\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{a_{k}}{2^{n-k}}}$ si le courant de sortie est nul.

Voir le calcul de la fonction de transfert.

Pour comprendre la formule de conversion, on va calculer les générateurs de Thevenin successifs en partant de V₀ :

les interrupteurs associés à V_ref donnent des générateurs de la forme a_kV_ref avec a_k qui vaut 0 ou 1.

On applique le pont diviseur de tension en V₀, on obtient le générateur de Thevenin de tension $\displaystyle V_{0}=\frac{a_{0}V_{ref}}{2}$ avec la résistance de Thevenin R₀=R

On applique Millmann en V₁ :
$\displaystyle\begin{array}[]{rcl}V_{1}&=&\frac{\frac{V_{0}}{2R}+\frac{a_{1}V_{% ref}}{2R}}{\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R}}\\ &=&\frac{V_{0}+a_{1}V_{ref}}{2}\\ &=&\frac{a_{0}V_{ref}}{4}+\frac{a_{1}V_{ref}}{2}\end{array}$

On applique Millmann en V₂ :
$\displaystyle\begin{array}[]{rcl}V_{2}&=&\frac{\frac{V_{1}}{2R}+\frac{a_{2}V_{% ref}}{2R}}{\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R}}\\ &=&\frac{V_{1}+a_{2}V_{ref}}{2}\\ &=&\frac{a_{0}V_{ref}}{8}+\frac{a_{1}V_{ref}}{4}+\frac{a_{2}V_{ref}}{2}\end{array}$

On applique Millmann en V₃ qui est égal à Vs :
$\displaystyle\begin{array}[]{rcl}V_{3}&=&\frac{\frac{V_{2}}{2R}+\frac{a_{3}V_{% ref}}{2R}}{\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R}}\\ &=&\frac{V_{2}+a_{3}V_{ref}}{2}\\ &=&\frac{a_{0}V_{ref}}{16}+\frac{a_{1}V_{ref}}{8}+\frac{a_{2}V_{ref}}{4}+\frac% {a_{3}V_{ref}}{2}\end{array}$

si le courant de sortie est nul (pas de chute de tension dans la denière résistance R, V_s=V₃, on retrouve la relation : $\displaystyle V_{s}=V_{ref}\left(\frac{a_{0}}{16}+\frac{a_{1}}{8}+\frac{a_{2}}% {4}+\frac{a_{3}}{2}\right)$

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